Re: [微積] 有什麼微積分的資源麼?

看板Math作者 (暈~~)時間11年前 (2013/05/28 19:33), 編輯推噓6(6推 0噓 67→)
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※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言： : 最近念到line integral，覺得有些地方難以理解， : 不是抽象的問題，而是符號的嚴謹性，有些地方一想深入，就苦惱書上都沒寫。 : 有推薦的資源嗎？書籍、網站，或者什麼pdf之類的，感恩。 : (推薦初微就好，不用高微) 在微積分中: 基本上dx,dy,ds都可以形式上把他當變數來處理。 ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 真正的意義是 (ds/dt)^2=(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2 而dy=f'(x)dx只是dy/dx=f'(x)的方便符號。 如果你不嫌麻煩，你可以每次都把dy=f'(x)dx寫成dy/dx=f'(x)。 你那些符號移來移去其實就是一個變數變換的過程而已(或微分連鎖律)。 線積分 ∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy (**) 的實際意義是: 假設(x(t),y(t))是你的曲線的參數式，則(**)定義為 ∫[P(x(t),y(t))dx/dt+Q(x(t),y(t))dy/dt]dt 所以你事實上可以不厭其煩的把每個變數步驟都寫出來的。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 132.64.25.47
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05/28 20:12, , 1F
其實我覺得該篇原po有些鑽牛角尖了...
05/28 20:12, 1F
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05/28 22:23, , 2F
dy=f'(x)dx <-> dy/dx=f'(x) 這還可以理解
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05/28 22:23, , 3F
我的理解方式是redefine dx跟dy的意思
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05/28 22:23, , 4F
(我沒學過非標準分析學, 只能從lim硬幹)
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05/28 22:24, , 5F
that is, dy/dx=lim (...)/(...) 來看
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05/28 22:24, , 6F
但因為分子分母極限都是0,不可寫微lim(...)/lim(...)
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05/28 22:24, , 7F
所以dy/dx=f'(x)不能把dx乘到右邊變成dy=f'(x)dx
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但是事實上dy=f'(x)dx還是對的
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把dy定義成lim(f(x)-f(a))=f'(a) lim(x-a)
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並不是這樣定義的 dx的正確幾何意義是R上的餘切叢的截面(section of the cotangent bundle) 用一維的看不出來，我用二維來說明。 假設p=(p_1,p_2)是R^2上的點，假設v=(v_1,v_2)是R^2上的向量，我們定義 (v)_p=(v_1+p_1,v_2+p_2) 我們定義 (v)_p+(w)_p=(v+w)_p, a(v)_p=(av)_p 則所有型如(v)_p的集合構成一個二維的向量空間，這個向量空間記為T_p R^2 稱為R^2在p點的切空間。 我們定義dx_p[(v)_p]=v_1, dy_p[(v)_p]=v_2。則dx_p, dy_p是T_pR^2上的線性泛涵。 讓p點去改變，我們就得到dx,dy。換句話說: dx:就定義為p-> dx_p, dy就定義為p-> dy_p。 如果x->h(x)是一個變數變換，我們可以驗證:利用定義 dh=h'(x)dx 這是因為一般的函數，df被定義為方向導數。同時在利用dx是基底，可以把df=adx 進而證明a=f'(x). 這是嚴謹的dx定義。 但基本上在微積分的程度，不需要這樣的看法，因為作積分時，這樣的規則其實就是 變數變換(or chain rule) "在微積分中，我們並不需要以上的看法"
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ps: 寫成在x=a的倒數/或者導函數f'(x)都可以
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如果dy,dx不用lim去describe, 我認為那要嘛是17世紀
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的老古董, 要嘛是20世紀的非標準分析學
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要嘛是高等微積分才會講的東西
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所以h大這篇文的一起除乘dt等, 是高等微積分?
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還是初微允許、合理、能嚴謹詮釋的範圍?
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更正: "把dy定義成.."改成把dy=f'(x)dx定義成
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推
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初微課本從來沒介紹過ds^2=dx^2+dy^2+dz^2這種
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一堆differential出現在同個式子裡是什麼意思
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所以為什麼我看到dt,dr,ds就很感冒就是這樣
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在微積分的階段可以把他當作符號簡化的計算，一切都是合法且合理且嚴謹。
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由其用他們乘乘除除，最後還擺進integral裡時...
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應該有介紹過 只是他們的介紹在你眼中都很不入流
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不是乘乘除除...是chain rule...
05/28 23:27, 22F
推
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yu大 我真的不是那個意思zzzz 不多解釋了
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我的chain rule只停留在 http://ppt.cc/ADhV
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ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 => 左右同除dt
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這跟chain rule的關係是？抱歉初學者真的看不出所以
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然。我的chain rule就只有課本上說的那樣而已
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這問題不是嚴謹不嚴謹了 是腦袋轉不過來 推不到
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你可以看Courant
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所以果然是我那本書書的問題.....
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多打一字
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個人覺得你有點鑽牛角尖了。基本上微積分學會怎麼算比較重要。 其實微積分的書已經很嚴謹了
推
05/29 00:28, , 32F
書書^^
05/29 00:28, 32F
※ 編輯: herstein 來自: 109.67.29.49 (05/29 04:10) ※ 編輯: herstein 來自: 109.67.29.49 (05/29 04:11)
推
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h大, 你一下說微積分階段dx可以那些都是合法合理且嚴
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謹, 一下又說「dx是餘切叢的截面」
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是什麼「線性泛涵」,這些都是超過初微的東西
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所以當我上面問你說「這是高等微積分?還是初微可以
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當你使用dx這樣的符號時，dy=f'(x)dx這樣的寫法用微分形去解釋 但在初等微積分中，dy=f'(x)dx只是dy/dx=f'(x)的方便符號。因此， 你在處理這樣的方便符號，其實你是在處理變數變換的過程。因為， 在初微中，我們處理的只有積分，並不是真的處理differential form。 例如: 假設y=f(x)是一個變數變換。我們希望處理積分 ∫H(y)dy 我們自己在計算的時候，是把它寫成 H(y)dy=H(f(x))f'(x)dx. 它是一個變數變換的過程(變數變換是來自於微分連鎖律) 在微積分中，我們這麼寫只是為了方便。完整的寫是 ∫H(y)dy=∫H(f(x))f'(x)dx 我們希望計算積分 ∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy 我們常常直接在P(x,y)dx+Q(x,y)dy上處理。如果使用弧長參數 s(t)=∫√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt, 積分可以改寫為 ∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫(F˙n)ds 其中n=(dx/ds,dy/ds), F=(P,Q). 而ds^2=dx^2+dy^2只是以下積分表示的簡寫。 參數s(t)=∫√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt 所以你在處理微積分時，你並不需要真的處理dx,dy，當你在處理這些differential form時，你這些都可以實際的寫成積分形式。
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05/29 09:49, , 37F
允許、合理、能嚴謹詮釋的範圍？」時,
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「可以當作變數變換(or chain rule), 一切合法嚴謹」
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然後當我問你，既然初微嚴謹(或大概能給出神韻)，
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你說用chain rule可以證，是怎麼證的？
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你又說我鑽牛角尖，然後一方面又說微積分的書很嚴謹
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了........
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ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 => ...
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真的看不出怎麼用chain rule http://ppt.cc/ADhV
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來推論下去.
05/29 09:53, 45F
推
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後面有點為辯而辯了,只是要闡述我一開始po文原意
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當然我真正一開始po文原意是
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微積分課本就算用變數代換去解釋
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也是有怪怪的地方
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沒有怪怪的地方，只是你需要時間去理解。
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05/29 16:44, , 50F
藉機問herstein大XD,
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我看的書常是先透過df/ds, (s為曲線參數)
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定義切平面的基底V[f]=V^i\partial_i f
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05/29 16:46, , 53F
然後透過f=x^i, 去identify, dx是daul basis,
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05/29 16:46, , 54F
這樣跟你直接定linear functional 有層次上的差異嗎
05/29 16:46, 54F
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還是這樣想是比較去連結我們舊有的直覺
05/29 16:47, 55F
基本上differential form並不是linear functional,它是每個點p都指定一個linear functional。假如f是定義在R^n上的一個可微分函數，那麼，任給一點p,與切向量v 我們可以定義方向導數 v_p[f]=df_p(v)=d/dt (f(p+tv))|_t=0. 所以df_p就成為T_pR^n上的linear functional。這個linear functional df_p 隨著p點改變。當f=x^i是座標函數時，dx^i_p:T_p R^n-> R剛好就是座標投影。 我們可以驗證{dx^1_p,...,dx^n_p}是(T_pR^n)*的基底。 ※ 編輯: herstein 來自: 109.65.4.153 (05/29 16:57)
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05/29 17:52, , 56F
linear functional field XDD
05/29 17:52, 56F
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05/29 18:59, , 57F
h大最後的白字補充寫的很好!!!! 跟我猜的一樣
05/29 18:59, 57F
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05/29 19:00, , 58F
(非馬後炮XD), 有老師說積分的代換法
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05/29 19:00, , 59F
du=g'(x)dx 就‧是‧嚴‧謹‧的‧理‧由‧了
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05/29 19:00, , 60F
他媽的我看了很火
05/29 19:00, 60F
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05/29 19:01, , 61F
「它是一個變數變換的過程(變數變換是來自於微分
05/29 19:01, 61F
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05/29 19:02, , 62F
分連鎖律)在微積分中，我們這麼寫只是為了方便。
05/29 19:02, 62F
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05/29 19:02, , 63F
完整的寫是..」完全同意啊!!!!!!
05/29 19:02, 63F
推
05/29 19:06, , 64F
我上面說錯了, 變數變換我完全agree
05/29 19:06, 64F
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05/29 19:07, , 65F
這個不接受就說不過去了XD
05/29 19:07, 65F
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05/29 19:07, , 66F
只是ds那邊太複雜 不像是那麼plain的u-substituion
05/29 19:07, 66F
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05/29 19:07, , 67F
↑但h大上面有補充ds那了 我理解完再來發言！！
05/29 19:07, 67F
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05/29 19:07, , 68F
感謝h大熱心回覆 :p
05/29 19:07, 68F
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05/29 19:13, , 69F
我上面說錯了, 變數變換我完全agree => 10:14 的地方
05/29 19:13, 69F
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05/29 21:02, , 70F
謝herstein大～
05/29 21:02, 70F
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11/10 11:52, , 71F
我的理解方式是rede https://daxiv.com
11/10 11:52, 71F
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01/02 15:25, 5年前 , 72F
定義切平面的基底V[f https://muxiv.com
01/02 15:25, 72F
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07/07 11:05, 4年前 , 73F
07/07 11:05, 73F
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