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作者 PPguest 在 PTT [ Math ] 看板的留言(推文), 共504則
限定看板：Math
看板排序：
15F推: 看L大的推文,我猜這裡的數歸是這樣的形式：10/23 23:28
16F→: 1. n=1, n=2 成立10/23 23:29
17F→: 2. 若 n=1,2,...,k-1皆成立時可推得n=k成立10/23 23:30
18F→: 則由數歸知對所有正整數都成立10/23 23:31
4F推: 4.看不太懂.請問 T'({y_rj}), P' 到底是什麼？和08/08 22:59
5F→: T({y_ij}), P 有什麼不同？08/08 23:00
6F→: 啊沒事,我看懂了,T({y_ij})_r和T'({y_rj})是同大小08/09 10:17
7F→: 的table「方框」08/09 10:17
38F→: 唯一性需要符合函數值以及高階導數的條件,如果能用08/14 20:13
39F→: 唯一性的話,就不需要檢查了XD08/14 20:14
40F→: 我在想,Newton form 應該也能寫成矩陣的形式,類似08/14 21:12
41F→: V大那篇的 https://i.imgur.com/sPmLIUo.png08/14 21:13
42F→: 然後解就會是divided difference 的樣子08/14 21:16
44F→: 要變成類似V大之前做的得到高階導數的等式應沒希望08/14 21:46
47F→: 我原本是想,在V大那篇推文裡的 Neville's algorithm08/14 22:31
48F→: 推廣版告訴我們符合條件的多項式其首項係數的長相08/14 22:33
49F→: 想在Hermite形式的多項式從已知的一個推到下一個08/14 22:36
50F→: 例如 https://i.imgur.com/I5iV7U8.jpg08/14 22:37
51F→: 已知 2-8(x+1)+28(x+1)^2 滿足f,f',f''在-1的值08/14 22:38
52F→: 再加一項(x+1)^3,係數先未知,前面三個條件還是會符08/14 22:40
53F→: 合,最後一個條件是在0多項式=1,未知係數就是首項係08/14 22:45
54F→: 數,我們又知道符合條件的首項係數,有沒有辦法證明這08/14 22:46
55F→: 樣取,多項式是否就會滿足第4個條件？08/14 22:47
65F→: 如果沒有c大的證明以及V大矩陣的證明,那還能確定在08/14 23:23
67F→: Hermite的talbe中,不同的走法會是同個多項式嗎？08/14 23:24
79F→: 均差定義我是當作一切都 well-defined 直接用(遮臉08/15 19:43
80F→: V大說的不同走法其實都是同一個多項式看起來沒問題.08/15 19:43
81F→: 下面是用一樣的手法來證明一般情況的大綱08/15 19:43
82F→: 欲證：在 Hermite table(相同的點排在一起),不同走08/15 19:43
83F→: 法寫出來的多項式都是同一個。08/15 19:44
84F→: pf:用數學歸納法來證08/15 19:44
85F→: 1a.(滿足)一個點(條件)的多項式只有一種寫法,成立.08/15 19:44
86F→: b.兩點的分成兩種情況:08/15 19:44
87F→: i.兩點相同的顯然成立;08/15 19:44
88F→: ii.兩點不同時把兩個多項式相減說明等於0.會用到08/15 19:45
89F→: f[z_1,z_2](z_1-z_2) = f[z_1]- f[z_2]08/15 19:45
90F→: 2.假設n-2,n-1個點的情況都會成立,欲證n個點也成立.08/15 19:45
91F→: 一樣分成兩種情況:08/15 19:45
92F→: a.(n個點的)頭尾兩點相同時,因為相同的點排在一起,08/15 19:45
93F→: n個點都是同個點,顯然成立;08/15 19:45
94F→: b.頭尾兩點不同時,由n-1個點的假設,走法分成兩類,08/15 19:46
95F→: 例如從f[z_i,...,z_i+n-2]到f[z_i,...,z_i+n-1]08/15 19:46
96F→: 跟從f[z_i+1,...,z_i+n-1]到f[z_i,...,z_i+n-1],08/15 19:46
97F→: 同一類的走法都是同一個多項式.08/15 19:46
98F→: 從兩類各挑一個走法,目標是兩個多項式相減等於0.08/15 19:46
99F→: 特別挑經過f[z_i+1,...,z_i+n-2]的走法,08/15 19:46
100F→: 由n-2個點的假設,目標式剩最高和次高次數的兩項,08/15 19:46
101F→: 最後會用到遞迴公式.08/15 19:47
102F→: 連結是 table 示意圖 https://imgur.com/UT8kI4N08/15 19:48
115F推: 想問V大,"(n個點的)頭尾兩點"你怎麼理解,是指什麼？08/16 23:22
121F→: 同意不用把同樣z相鄰擺放.證明的修改2的部分用舊的08/17 00:17
122F→: 2b一直到剩下兩項,頭尾兩點相同會直接等於0,兩點不08/17 00:18
123F→: 同的用遞迴公式.08/17 00:19
124F→: "2a是沒有必要的"是指不需要排成相鄰嗎？08/17 00:22
125F→: "走法分成兩類...同一個多項式"會很難看懂嗎？08/17 00:28
126F→: ^2b裡的08/17 00:28
127F推: @z大 08/14 22:31 的部分晚點我再po一篇文證明08/17 00:34
131F→: 了解.可能是因為 f[5,9,z]的極限 要另外處理,所以當08/17 20:37
132F→: 提到均差的遞迴公式時,腦袋錯誤地只理解為分母不為008/17 20:37
133F→: 的遞迴公式.因此看到分母為0卻要用公式會覺得奇怪.08/17 20:37
134F→: 但個人還是偏好分開來講,直接等於0要說用公式很奇怪08/17 20:40
135F推: 寫一個最一般版本的證明大綱08/17 23:28
136F→: 欲證:(不需把同樣的點相鄰擺放,包含單一table外的)08/17 23:28
137F→: 所有走法寫出來的多項式都是同一個.08/17 23:28
138F→: 證明:用數學歸納法08/17 23:28
139F→: 1a.(滿足)一個點(條件)的多項式只有一種寫法,成立.08/17 23:28
140F→: b.兩點,把兩個多項式相減說明等於0,兩點不同時,用08/17 23:29
141F→: 遞迴公式 f[x_1,x_2](x_1-x_2) = f[x_1]- f[x_2]08/17 23:29
142F→: 2.假設n-2,n-1個點的情況都會成立,欲證n個點也成立.08/17 23:29
143F→: n個點每種排列都一張table,n!張保證包含全部走法.08/17 23:29
144F→: a.所有table都同個多項式.用同開頭table同多項式和08/17 23:29
145F→: 同多項式出現在不同開頭table得證. x_i,x_j開頭08/17 23:30
146F→: table選某個頭x_i尾x_j順序及順序倒過來的table.08/17 23:30
147F→: b.同開頭table都同個多項式.用table內都同個多項式08/17 23:30
148F→: 和同開頭table都有同個多項式得證.用n-1個點假設08/17 23:30
149F→: c.單一table內都同個多項式.n-1個點假設得兩類同多08/17 23:30
150F→: 項式的走法,從兩類各挑一個走法,說明兩多項式相08/17 23:31
151F→: 減等於0.利用n-2個點假設挑走法,讓目標式剩最高08/17 23:31
152F→: 和次高的兩項.頭尾兩點不同時,用遞迴公式.08/17 23:31
147F→: 跟 divided difference 的情況類似要算極限. 改用08/14 16:00
149F→: 圖中遞迴關係裡的 x_1 和 x_n 應該就會不相等08/14 16:00
163F→: = {3a}x^2-{3a^2}x+a^308/14 22:29
162F→: ({a^2+ac+c^2}x-ac{a+c})]/(a-c)08/14 22:28
137F推: 剛想到可以用 Neville's algorithm 多項式的遞迴關08/14 15:22
138F→: 係來看. https://imgur.com/arw1e8208/14 15:22
139F→: P_1,2,...,n(x)是過那些點 x_1,x_2,...,x_n 函數值08/14 15:23
140F→: 最高n-1次的多項式. 如果 x_i 有重複,那就是要符合08/14 15:23
141F→: 高階導數的條件.08/14 15:23
142F→: 在 x_i 有重複的情況,要和 Hermite 的 table 一樣先08/14 15:24
143F→: 把重複的 x_i 合併,這樣子才容易檢查新生成的多項式08/14 15:25
144F→: 會符合條件. 用這個看 Newton form 的 table 應會比08/14 15:25
145F→: 較清楚.08/14 15:25
146F→: 例如算 P_1,1,2(x),不要用 P_1,2(x)和 P_2,1(x)去算08/14 15:59
46F→: 的退化函數08/13 17:32
45F→: @z大 difference table演算法不就是在算Newton form08/13 17:31
151F→: 註：圖片中微分的部分應該要 m<=n-2.08/14 16:32
150F→: 驗證 P_1,1,...,1(x)符合條件,會需要微分和極限互換08/14 16:32
148F→: P_1,1(x)和 P_1,2(x)來算. 這樣子 general case 在08/14 16:00
152F→: m個1,在微m-1次 之前 大概沒有什麼問題08/14 16:37
153F→: 微m-1次時,用首項係數 f[x1,...,x1,x]應可以得到08/14 16:42
154F→: f^(m-1). 但我圖中微分的式子好像怪怪的,少了階乘?08/14 16:43
155F→: 啊沒事,階乘會在多項式首項微多次時掉出來08/14 17:10
156F→: V大你說"不是單純的「把前一層..."是指 P_1,2(x)和08/14 19:48
157F→: P_2,1(x)對吧,我那樣寫不太好,實際寫是用 P_1,2(x),08/14 19:50
158F→: P_2,3(x),以及其他遞迴式裡的東西,再讓 x_3→x_108/14 19:52
159F→: P_2,3(x)確實沒有用到 P_1(x)08/14 19:53
160F→: 感謝實例,我覺得我的認知和V大的一樣. 我是算下面08/14 22:28
161F→: 這個：lim_{c→a} [(x-c)({3a^2}x-2a^3)-(x-a)08/14 22:28
102F→: @z大 difference table演算法不就是在算Newton form08/13 17:31
103F→: 的退化函數08/13 17:32
1F→: Powell的Approximation Theory and Methods,198108/05 22:49
2F→: p56 Theorem 5.508/05 22:55
3F→: 似乎是證明Newton form的Hermite內插多項式會滿足08/05 22:56
4F→: 內插條件. 但google圖書看不到57頁,看不到證明方法08/05 22:58
14F→: 我估狗搜尋一下,看起來是指用其他方法如字串,陣列來07/21 22:17
15F→: 存例如100位有效數字的數07/21 22:19
29F→: 原來有expm1(筆記)07/22 22:36
30F→: 想請問一下,若想知道實際誤差的狀況,準確的計算值要07/22 22:37
31F→: 如何得到？07/22 22:37
59F推: 原po擔心的0+,就像LPH66講的,應是怕函數算一算結果07/23 10:50
60F→: 超出浮點數能表示的範圍07/23 10:50
61F→: 雙精度大約比5e-324小一半就會變007/23 10:54
62F→: 感覺就是注意實際運算中不會發生這種情況,如果會發07/23 11:04
63F→: 生,就代表雙精度不夠用07/23 11:04
64F→: 例如f(x)=x^2, x有需要用到例如1e-170那麼小嗎？07/23 11:29
65F→: 若否,那沒事;若有需要,那雙精度就不夠用07/23 11:32
66F→: 主要是 07/22 22:26 後面你說的那種情況07/23 16:21
67F→: f(x)=x^2, g(x)=x, x=1e-17007/23 16:22
68F→: f(x)/g(x)=0, g(x)/f(x)=Inf07/23 16:22
81F→: 原po 07/23 09:44 之後紅色那段的例子07/23 22:45
82F→: 基本上都是10進位可以準確換算成2進位的情況07/23 22:47
83F→: 例如0.5, 0.25, 0.125。像0.1用二進位的角度來看,在07/23 22:49
84F→: 浮點數的系統只能用近似值來表達07/23 22:49
85F→: 很多數用二進位的角度來看,都是無窮小數,然後搭配07/23 22:53
86F→: 原po對L大舉例的理解,應該就沒問題了07/23 22:54
87F→: 用比double更大的精度, exp(10^-10)-1 大概會看到更07/23 22:58
88F→: 多小數,但大概有一定比例的小數其實是不準的07/23 22:59
89F→: 不過小數準的位數應該會變多07/23 23:01
90F→: "是不是要先固定某個精度......才能談相減的誤差" Y07/23 23:05
91F推: 多項式用"nested"的方式求值除了降低計算量,好像也07/23 23:10
92F→: 算是減少誤差07/23 23:11
93F推: 07/23 10:50 那段，原po實際應用的情況大概不用擔心07/23 23:17
94F→: 會發生.s和p在1,2之間,如果不同,再怎麼近大概是07/23 23:20
95F→: 2e-16等級的差距,要超出浮點數可表示的範圍應該不太07/23 23:22
96F→: 可能07/23 23:22
97F→: 07/23 22:59"有一定比例的小數...不準" 我用詞不好07/24 11:15
98F→: 單純是相近的數相減造成不精準07/24 11:16
99F→: 如果原本有15位有效數字,相減後剩5位有效,後面10位07/24 11:19
100F→: 不準.用比double更大的精度,計算前例如有30位有效數07/24 11:20
101F→: 字,相減後還剩20位有效,後面10位不準07/24 11:21
102F→: 用expm1,可能輸入是15位有效數字,輸出是14位有效,07/24 11:23
103F→: 1位不準;用比double更大的精度,輸入30位有效數字,07/24 11:24
104F→: 輸出29位有效,1位不準.大概是這種感覺07/24 11:24
19F推: 用divided difference, Newton form的interpolation07/23 15:14
20F→: polynomial來看 f(x)=cos(2*pi*x) 的例子，07/23 15:15
21F→: 因為f(0)=f(1),在退化時造成1st divided difference07/23 15:17
22F→: 兩個都變成0(一個是因f'(0)=0),因此2nd divided07/23 15:18
23F→: difference也是0,因此多項式的二次以及一次項係數都07/23 15:19
24F→: 是0，結果就變成常數07/23 15:19
25F→: 能確定的是,若n個點都退化到同一個點,對一般的f來說07/23 15:22
26F→: n-1次項的係數即為(n-1)th divided difference,07/23 15:29
27F→: 其值等於f微n-1次在那一點取值，然後除以(n-1)!07/23 15:31
28F→: Lagrange form 的 interpolation 和 Newton form 的07/23 15:50
29F→: 都是同一個多項式,只是寫法不同07/23 15:51
30F推: 另外不知道你的最後目的是什麼？是要求某點代入多項07/23 15:57
31F→: 示的值？或是有很多不同的x要代入多項式？又或者只07/23 15:58
32F→: 要a_0......a_n的值,不需要代值？07/23 15:59
33F→: 某點代入多項式的話可用Neville's algorithm07/23 16:00
34F→: 不同的x要代入多項式的話,先求Newton form的係數,再07/23 16:02
35F→: 用Newton form算x代入多項式07/23 16:03
36F→: 剛想了一下,07/23 16:00 講的是一般情況,不知道是否07/23 18:10
37F→: 適合退化的情形.另外我想原po應該知道算P(x)時,用07/23 18:11
38F→: ((a_3*x+a_2)*x+a_1)*x+a_0會比較穩定之類的吧07/23 18:16
39F推: 感覺要先確定一件事,如果參數t確定後變成2~3個點,多07/23 18:22
40F→: 項式是退化的最好嗎？用一次或二次多項式會比較差嗎07/23 18:24
41F→: 三次多項式有4個未知係數,已知例如過2點,還有兩個條07/23 18:28
42F→: 件的自由度可以選擇07/23 18:28
43F→: 我想表達的是就算是三次多項式還有很多選擇,不過會07/23 18:35
44F→: 不會符合退化的那種是最"好"的？如果是的話,搞清楚07/23 18:37
45F→: 其另外加入的條件是什麼,然後在看計算上用哪種方式07/23 18:38
46F→: 會比較適合07/23 18:38
47F→: ^係數07/23 18:39
48F推: Hermite interpolation 看起來是除了各點函數值要一07/23 20:17
49F→: 樣,各點例如微一次以及微兩次後的函數值也要一樣07/23 20:19
50F→: 看起來前面提的點變少的退化,猜測其他的條件應該就07/23 20:20
51F→: 是對該點微分一次(甚至微分兩次)的函數值也要一樣07/23 20:23
52F→: 如果跟點數一樣的比,就是用更多的資訊,更高次的多項07/23 22:17
53F→: 式來逼近.如果跟一樣次數的多項式比,大概就是誤差項07/23 22:23
54F→: 不太一樣07/23 22:23
23F推: 看到"用隨機過程建模...某個x_n出來的結果是錯誤",11/11 21:39
24F→: "某個抽樣x_n不符合理論推導結果",有點好奇什麼是11/11 21:40
25F→: "結果錯誤"和"不符合理論推導結果"11/11 21:41
26F→: 是我後面想到簡單例子的這種嗎？公平骰子的期望值是11/11 21:43
27F→: 3.5,每次抽樣10個,把x_1~x_10做平均,結果發現結果常11/11 21:45
28F→: 常不是理論值的3.511/11 21:46
34F推: 個人是覺得碰到有隨機性或不確定性的問題時，11/13 16:03
35F→: 用機率來建模是可以理解的。11/13 16:03
36F→: 用隨機過程建模，想出的一個(例如)denoise的方法，11/13 16:03
37F→: 如果有人問為什麼這個方法可以denoise，11/13 16:03
38F→: 通常都至少有一定程度可以說明。11/13 16:03
39F→: 如果不要用到機率統計，只對x_n做實數列假設，11/13 16:04
40F→: 我會好奇那是怎麼對問題做建模的？11/13 16:05
41F→: 雜訊在模型中是什麼？能解釋為什麼方法能denoise嗎11/13 16:05
42F→: 題外話,用實數列來看待,感覺也是很新奇有趣11/13 16:12
43F推: 好奇問一下,方法的理論是不是都沒有講實作的表現能11/13 16:21
44F→: 多好,或者其他跟實作表現有關的任何資訊?11/13 16:22
45F→: 什麼都沒有的話感覺很頭痛,不知道能不能自己估計?11/13 16:27
46F推: 對於原po說的分析方向或者實數列看待，11/14 23:50
47F→: 感覺好像既知道卻同時又不知道到底是在做什麼，11/14 23:51
48F→: 從Wiener filter的例子只看到在理論推導的部分。11/14 23:51
49F→: 想知道原po的實數列看待到底是什麼，11/14 23:51
50F→: 是否能用下面這個更簡單的例子來說明呢？11/14 23:51
51F→: 以下不嚴謹、用詞不精確、很簡略警告！11/14 23:51
52F→: 假設訊號 w_k = s_k + n_k, n_k 是雜訊，是 0 mean11/14 23:52
53F→: 的 Gaussian noise, 有iid。11/14 23:52
54F→: denoise的方法很簡單，除了邊邊要另外處理，11/14 23:52
55F→: 中間的部分 x_k=1/4*[w_(k-1)+2*w_k+w_(k+1)]11/14 23:52
56F→: 用機率很容易可以說明為什麼這個方法可以denoise。11/14 23:53
57F→: 若用Fourier & Spectral Analysis來看同一個程式碼11/14 23:53
58F→: 可以看成捲積，然後發現其實是某種low pass filter11/14 23:53
59F→: 雜訊大概是某種高頻的訊號，因此可以denoise。11/14 23:54
60F→: 感謝11/14 23:54
62F→: 看起來我讓你搞錯了,不是用Wiener filter來denoise11/15 20:07
63F→: 是用 x_k=1/4*[w_(k-1)+2*w_k+w_(k+1)] 這個方法11/15 20:07
64F→: 名詞的話應該是 averaging filter 這一類的11/15 20:23
65F→: 我寫的w,s,n,我是這麼看：對每個k,n_k是隨機變數11/15 20:56
66F→: s是"圖片"(我不知道一維的該怎麼稱呼),s_k是第k個11/15 20:58
67F→: "像素".整個s在想像中是理想沒有被干擾的"圖片"11/15 21:00
68F→: "圖片"本身沒隨機性,把它看成"那個"圖片"發生的機率11/15 21:04
69F→: 是100%",所以s_k也看成是隨機變數,w_k也一樣11/15 21:06
70F→: X_n(w)/X(w_n)/X(n)的部分，原本我以為只是符號的問11/15 21:15
71F→: 題，搞清楚是指什麼就好。不過我剛剛才知道隨機過程11/15 21:24
72F→: 有分離散時間和連續時間。所以……我不知道11/15 21:24
73F→: 啊，本文有講，還請原po幫我刪掉22:17的推文11/15 22:42
75F推: 所以原po的分析學假設,我可以理解成之後會連接到11/16 19:20
76F→: FIR濾波器的理論嗎？11/16 19:22
77F推: 我問得明確一點，相對於統計假設，原po的分析學假設11/17 09:52
78F→: 我是否可以理解成一樣也是用頻率的角度來解釋事情？11/17 09:53
31F→: 有沒有可能是這樣寫比精簡?反正floor(n/r)如V大所說08/05 16:43
32F→: 有方法可以知道.看到這種東西讓人覺得頭好痛,也想問08/05 16:45
33F→: 作者這樣寫到底是什麼意思?有什麼特別的作用?08/05 16:45
34F→: ^較08/05 16:47
39F→: 看起來是我想太多,以為a_n也是資料教你逼近的方式08/05 20:46
40F→: 要區分a_n和b_n,我也不知道有什麼專有名詞.08/05 21:30
41F→: 不過你提到的"2^0.5的逼近方法",感覺有一點不明確08/05 21:30
42F→: 我會腦補成"求2^0.5的10進位表示法到小數第幾位",08/05 21:30
43F→: 資料教的逼近方式b_n直觀上大概就是指這個問題的08/05 21:31
44F→: 演算法(的一部分,因為還要決定n要到多大才能停),08/05 21:31
45F→: 但a_n卻不是.08/05 21:31
46F→: a_n如果直接照著用電腦實做的話,感覺第一步是把r08/05 21:31
47F→: 存成浮點數,但這步基本上就是我們要求的.08/05 21:32
48F→: 感覺我只是用我自己的話在講你也知道的事情.08/05 21:32
60F→: 如果要證明對於某個實數r,存在一個數列收斂到r08/06 12:20
61F→: a_n:= n/(floor(n/r))是存在性證明還是構造性證明?08/06 12:22
62F→: 感覺就很構造性證明啊?08/06 12:22
63F→: 我的話大概就不會去管 構造性證明 和 可計算性08/06 14:52
64F→: a_n和b_n的區別,一句話來說,不是每一個收斂到r的數08/06 14:54
65F→: 列都能用在r的求值問題,感覺稍微把數列和求值問題的08/06 14:57
66F→: 方法給分開一些.08/06 14:57
179F→: 感覺8/6前的推文大家似乎都避開討論這篇的標題XD08/09 20:05
180F→: ^不08/09 20:07
1F→: 有沒有可能是這樣寫比精簡?反正floor(n/r)如V大所說08/05 16:43
2F→: 有方法可以知道.看到這種東西讓人覺得頭好痛,也想問08/05 16:45
3F→: 作者這樣寫到底是什麼意思?有什麼特別的作用?08/05 16:45
4F→: ^較08/05 16:47