Re: [分析] Hermite內插演算法的證明

看板Math作者 (QQ)時間9月前 (2023/08/06 23:49), 9月前編輯推噓5(5推 0噓 21→)
留言26則, 2人參與, 9月前最新討論串3/6 (看更多)
原文吃光光, 這裡舉個wiki的例子 https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_interpolation#General_case 求滿足 p(-1)=2, p'(-1)=-8, p''(-1)=56 p(0) =1, p'(0) = 0, p''(0) = 0 p(1) =2, p'(1) = 8, p''(1) =56 的八次多項式p(x), 其中這九個條件我叫他(●) 依照畫表演算法(相同的x擺一起, 畫table, 相同的x以微分值值取代...blabla) 我們構造出函數p(x) = 2 - 8(x+1) + 28(x+1)^2 - 21(x+1)^3 + 15x(x+1)^3 - 10x^2(x+1)^3 + 4x^3(x+1)^3 - x^3(x+1)^3(x-1) + x^3(x+1)^3(x-1)^2 如何證明p(x)符合條件(●) ---------------------------------------------------- 我從結果論知道p(x)是符合的, 而且任給我例子我都可以硬爆去證明是對的 但是我就是無法從general case去證明這套演算法都符合 因為這general case很難寫... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1691336973.A.E9E.html
推
08/07 04:31, 9月前 , 1F
那你要不要試試看先做九個多項式出來？
08/07 04:31, 1F
→
08/07 04:33, 9月前 , 2F
第一個先叫做u(x)吧。u(-1)=1,u'(-1)=u"(-1)=u(0)=
08/07 04:33, 2F
→
08/07 04:35, 9月前 , 3F
u'(0)=u"(0)=u(1)=u'(1)=u"(1)=0。其他八個也類似。
08/07 04:35, 3F
→
08/07 04:36, 9月前 , 4F
都是某個導數(零階導數也算導數)=1，其他導數=0。
08/07 04:36, 4F
→
08/07 04:37, 9月前 , 5F
那個演算法我沒有去仔細研究，不過看起來……好像
08/07 04:37, 5F
→
08/07 04:38, 9月前 , 6F
比較有Newton form的感覺。
08/07 04:38, 6F
是牛頓形式沒錯
推
08/07 04:42, 9月前 , 7F
沒錯，這東西應該是Newton form的推廣而不是
08/07 04:42, 7F
→
08/07 04:43, 9月前 , 8F
像他寫的Lagrange的推廣。Lagrange的話可以寫出一個
08/07 04:43, 8F
我這篇原文前面寫Lagrange是因為最初在問退化的那一篇我還不知道牛頓形式 而我這裡只? 有說到演算法就是指列差分表來寫牛頓形式
→
08/07 04:44, 9月前 , 9F
容易驗證的形式。我第一篇推文的意思是既然你的問題
08/07 04:44, 9F
→
08/07 04:44, 9月前 , 10F
中f只是用來提供線性代數條件的，那你就用一個滿足
08/07 04:44, 10F
→
08/07 04:45, 9月前 , 11F
那些條件的多項式P代替f，然後說明用P去跑會滿足條
08/07 04:45, 11F
→
08/07 04:45, 9月前 , 12F
件。由退化規則，P和f會寫出一樣的L。
08/07 04:45, 12F
→
08/07 04:48, 9月前 , 13F
改用P寫出的極限是constant family P的極限，所以
08/07 04:48, 13F
→
08/07 04:48, 9月前 , 14F
P=L
08/07 04:48, 14F
c大你P取代f那邊我理解了, 可是後面constant family P然後得到P=L我就不懂了…
推
08/07 05:02, 9月前 , 15F
Lagrange form 的退化計算方式，我的文章裡面有寫。
08/07 05:02, 15F
這裡重新整理一下問題跟符號: 不管Lagrange還是牛頓形式的退化都會是同一個多項式, say L(x) 然後列表演算法的多項式我叫他T(x) 想證: (1) L(x) 滿足微分條件 (2) T(x) 滿足微分條件 (3) L(x) = T(x) 由於存在唯一滿足微分條件的多項式, 因此上面(1)~(3)任意兩個都能得到剩下那個 我這篇原文的敘述方式應該讓(1)~(3)攪在一起了 不好意思
→
08/07 05:27, 9月前 , 16F
所以問題應該只是為什麼退化規則長這樣而已。
08/07 05:27, 16F
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 08/07/2023 05:34:40
→
08/07 05:37, 9月前 , 17F
不是說你寫的，是維基一開始也說是Lagrange的推廣
08/07 05:37, 17F
喔喔 這我覺得可以接受欸 不同的x的話 Lagrange形式跟牛頓形式本來就是同一個多項式 兩 者都可以取極限來退化然後推廣到Hermite 只是差別在牛頓形式在不同的x有套遞迴列表演算法 而且在有相同x中只要改變一些演算法規 則(相同x如何處理)就可以證明(也是我想看到的)這樣規則下出來的多項式會符合Hemite的微 分條件 ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 08/07/2023 05:37:43
→
08/07 05:42, 9月前 , 18F
你用P去插值的結果一定得回P，和點無關
08/07 05:42, 18F
推
08/07 14:20, 9月前 , 19F
關於我在一樓的建議，他的好處是立刻可知u是
08/07 14:20, 19F
→
08/07 14:25, 9月前 , 20F
( a(x+1)^2+b(x+1)+1/8 )*x^3*(x-1)^3，剩下兩個
08/07 14:25, 20F
→
08/07 14:25, 9月前 , 21F
常數就算一下導數。
08/07 14:25, 21F
→
08/07 14:28, 9月前 , 22F
u這種情況算是九個裡面最難算的了，因為在x=-1那邊
08/07 14:28, 22F
→
08/07 14:29, 9月前 , 23F
是u=1而不是u"=1。
08/07 14:29, 23F
嗨V大, 當我得到u_1(x)~u_9(x)並且滿足你說的那些條件(一個為1, 其他導數為0) p(x)就是u_i的線性組合, 所以只要找u_i就好了? ※ 編輯: znmkhxrw (114.25.66.212 臺灣), 08/07/2023 19:16:15
推
08/07 20:02, 9月前 , 24F
對，而且u_1的係數就是f(-1)，其他導數也不用微分
08/07 20:02, 24F
→
08/07 20:02, 9月前 , 25F
了。接下來其實還要說明u_i是特定類型的極限，這樣
08/07 20:02, 25F
→
08/07 20:02, 9月前 , 26F
可能才能完整回答你的原問題。
08/07 20:02, 26F
‣ 更多 znmkhxrw 的文章
文章代碼(AID): #1apy4DwU (Math)
討論串 (同標題文章)
完整討論串 (本文為第 3 之 6 篇)：
排序： 最舊先 | 最新先 | 留言數
在新視窗開啟完整討論串 (共6篇)
‣ 更多 znmkhxrw 的文章
文章代碼(AID): #1apy4DwU (Math)