Re: [分析] Hermite內插演算法的證明

看板Math作者Vulpix (Sebastian)時間2年前 (2023/08/06 19:29)推噓14(14推 0噓 143→)

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符號看得有點花…… 如果你想做的是「在 x_1 和 x_2 分別趨近 x_0 後所得的極限 = Taylor 多項式」，那你需要的就是 MVT of divided differences。 https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem_(divided_differences) 直接套上去就馬上做完了。也不必去算新多項式的導數。但是如果要一步一步來就沒那麼好算了。 (x_n - x_0)lim_{x_1→x_0} f[x_0,...,x_n] = f[x_0,x_2,...,x_n] - lim_{x_1→x_0} f[x_0,...,x_{n-1}] 上面這條遞迴式是用來算極限的。本來的插值多項式是 f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)^2。在 x_1→x_0 之後，變成 f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + {f[x_0,x_2]-f'(x_0)}/(x_2-x_0) * (x-x_0)^2。然後 {f[x_0,x_2] - f'(x_0)}/(x_2 - x_0) 在 x_2→x_0 下的極限 = f"(x_0)/2，所以多項式的極限就變成 f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f"(x_0)/2 * (x-x_0)^2。不過我本來在想的是用 Lagrange 觀點。 e_0(x) := Π_{i=1}^n (x-x_i)/(x_0-x_i)，其他 e_j 類推。還是先用 n = 2 來觀察，插值多項式 = f(x_0)e_0(x) + f(x_1)e_1(x) + f(x_2)e_2(x) 然後也先讓 x_1→x_0，多項式變成 f(x_0){e_0(x)+e_1(x)} + {f(x_1)-f(x_0)}e_1(x) + f(x_2)e_2(x)。所以我們分成三項來看： 1. e_0(x)+e_1(x) = (x-x_1)(x-x_2)/(x_0-x_1)(x_0-x_2) + (x-x_0)(x-x_2)/(x_1-x_0)(x_1-x_2) 公因式 = (x-x_2)/(x_1-x_0) * (x_1-x_0)(x_0-x_2+x_1-x)/(x_0-x_2)(x_1-x_2) = (x-x_2)(x_0-x_2+x_1-x)/(x_0-x_2)(x_1-x_2) → (x-x_2)(2x_0-x_2-x)/(x_0-x_2)^2 = 1 - (x-x_0)^2/(x_0-x_2)^2 最後這個多項式，他代 x_0 得 1、導數得 0，而代 x_2 得 0。 2. {f(x_1)-f(x_0)}e_1(x) = {f(x_1)-f(x_0)}(x-x_0)(x-x_2)/(x_1-x_0)(x_1-x_2) → f'(x_0)(x-x_0)(x-x_2)/(x_0-x_2) (x-x_0)(x-x_2)/(x_0-x_2) 代 x_0 得 0、導數得 1，而代 x_2 得 0。 3. e_2(x) = (x-x_0)(x-x_1)/(x_2-x_0)(x_2-x_1) → (x-x_0)^2/(x_2-x_0)^2 最後這個多項式也是代 x_0 得 0、導數得 0，而代 x_2 得 1。我們得到三個可以各自突顯 f(x_0), f'(x_0), f(x_2) 的多項式，剛好跟 Lagrange 觀點有謀而合。最後再讓 x_2→x_0， f(x_0){1-(x-x_0)^2/(x_0-x_2)^2} + f'(x_0)(x-x_0)(x-x_2)/(x_0-x_2) + f(x_2)(x-x_0)^2/(x_2-x_0)^2 = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) + { f(x_2) - f(x_0) - f'(x_0)(x_2-x_0) }(x-x_0)^2/(x_2-x_0)^2 → f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f"(x_0)(x-x_0)^2/2 其實仔細看，1, x-x_0, (x-x_0)^2/2 也是在函數值、一階導數、二階導數之中各自突顯一項，而消滅其他兩項的多項式函數，同樣符合 Lagrange 觀點的插值概念。真正麻煩的還是 general case：有資料的點是 x_0, ..., x_n，每個點的高階導數已知階數不盡相同。像是已知 f(-1), f(0), f'(0), f"(0), f(5), f(100), f'(100) 這樣。然後先用 -1, 0, a, b, 5, 100, c 插值，再讓 a,b→0 和 c→100，之後要檢查在 x = 0 的一階二階導數和在 x = 100 的一階導數。不過我想，應該也是這樣一步步算極限就好。但是那個 general form 就真的很難看，所以平常都是給 algorithm。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.162.224.247 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1691321340.A.CC3.html

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