Re: [分析] 構造/非構造式證明

看板Math作者bluepal (艾利歐呂)時間3年前 (2022/08/08 00:40)推噓8(8推 0噓 70→)

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※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：想用下面這個例子詢問一下如標題的問題: 令r = 2^0.5 令a_n := n/(floor(n/r)) 則我們知道a_n→r 那這樣a_n算是2^0.5的構造性證明嗎? (或許要先定義採用的公設? 比如除法反元素與floor函數的存在性) ----------------------------------------------------------- 其實最初我想問的不知道怎麼下標題... 就是找"2^0.5的逼近方法", 一堆資料教你造遞迴/數列...的有理數逼近方式(假設叫b_n) 但是我問題就在於 a_n := n/(floor(n/r)) 也是一種逼近方式, 而且也是有理數列那b_n跟a_n就差在"電腦能不能算"這個沒定義的名詞? 而a_n最大的不同是, 他把要逼近的r拿來用了可是這步在邏輯上並沒有錯, 因為r本身存在了, 我只是要逼近他我目前卡在沒有定義去區分a_n跟b_n有哪裡不同只能用一些口述語言(電腦能不能算/把r拿來用...)來描述有關於這區別的專有名詞嗎謝謝~

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PPguest

08/05 16:43,

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PPguest

08/05 16:45,

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PPguest

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PPguest

08/05 16:47,

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我在上篇的問題中需要這個定理: ------------------------ 令a_n是趨近於無窮大的正整數列則對於任何正實數r, 都存在一條趨近於無窮大的正整數列b_n 使得a_n/b_n趨近於r ------------------------ 證明就是取b_n = floor(a_n/r)就結束了也就是因此, 我才看到a_n/b_n不就是一種趨近於r的有理數列嗎抑或是floor(nr)/n也是一種, 只要先有高斯函數的存在性以上在數學邏輯都沒有問題, 只是突然用實作逼近觀點去想這件事, 發現我要藉助floor( nr)逼近r, 但是我要藉助的東西卻很難算(general r), 於是才有"很怪"的感覺 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 不好意思只留問題原意和原始問題。 * 證明無誤，著眼點在存在性。任何實數r本身可能為有理數或無理數，前者構造容易，後者由可前者建構。 * 你覺得怪的點應該在r為無理數時，因為寫程式無法操作。 * 不過這樣想就簡明了：如果r為無理數時程式完全可以操作因為若"給定了"任何一個有理數r，最常見的給定方式是： r=a/b, (a,b)=1, a和b為整數, b>0 當r為無理數時，如您所提2^0.5，程式無法按照你證明中的算式操作，因為程式操作的都是有限步驟，然而b_n = floor(a_n/r)當中： a_n/r，假設第一步a_0=1，光是1/(2^0.5)就無法以程式操作出無誤差數字。 * 證明本身對於無理數之r正確，是因為先有了r的存在性，給定任何實數r這句話本身，就隱含r存在，也存在著r的構造方式 (任何無理數皆可用有理數無窮數列逼近)，以2^0.5次方為例，這個數字本身'2^0.5'其實僅是一種表達方式，表達一個數，存在性已證(由完備性) 而此數的性質是平方為2，此數也被認為該存在於數線上，因此以完備性公理賦予其存在性，r的存在性才保證b_n中每個數字存在。也就是說，b_n之所以存在，證明之所以成功，是仰賴給定了r，或是r的存在性。然而很多存在性的證明都沒有給構造方法(或說用程式操作方法)，例子太多了，所以這個證明並不奇怪。先證明了b_n存在性後，才依其存在性去構造b_n，數學上常見這樣流程。否則即使構造了一組數列，若b_n打從一開始就不可能存在，構造出的數列也不會滿足原條件。 * 其實完備性公理也只說了數線上那些"該存在的數字"，只要可以用有理數數列逼近到誤差比任何正有理數小，他就存在。不過那些"該存在的數字"，在你給定這個數字同時，就是要給足它的資訊，像這裡是該數的平方為2。其他"該存在的數字"的資訊不枚盛舉：該數的某整數次方為某正整數 pi: 圓周長與直徑長之比 e: 考慮以1/x從1開始積分的黎曼和，使其和為1的下界。有了這個數字的等價資訊，才等同告知(給定)了該數字。上述資訊的共同特徵都是可以用有理數來逼近，像2^0.5 可用最簡單的十分逼近法以有理數逼近，得到 c_n(取遞增數列c_0<2^0.5) 本題欲構造b_n = floor(a_n/r)，即可利用r=2^0.5之構造方法，取上述c_n 改令b'_n=floor(a_n/c_n) 因為集合{a_n/b_n}唯一limit point為r=2^0.5 且顯見{a_n/b_n}之limit point(r=2^0.5) 亦為{a_n/b'_n}之limit point 因此由 a_n/b'_n 之極限亦為r *上面的手法其實也是先利用了存在性的證明，來證明這個構造的結果有效。此證明亦可以構造出r，只差在當初先做為前提的存在性要如何構造。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.204.39.221 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1659890411.A.985.html ※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 08/08/2022 22:28:33

推

znmkhxrw

08/09 13:04, 3年前 , 1^F

08/09 13:04, 1^F

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