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作者 hwanger 在 PTT 全部看板的留言(推文), 共4432則

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[微積] 我都覺得自己很扯了

[ Math ]61 留言, 推噓總分: +15

作者: kittor - 發表於 2020/08/03 16:21(3年前)

3^F推hwanger: 使用"部分分式積分法(integrals of rational08/03 20:04

4^F→hwanger: function)" 考慮 x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)08/03 20:05

5^F→hwanger: 此為基本作法任何一本正規的微積分課本都有專門一08/03 20:07

6^F→hwanger: 節教此手法08/03 20:07

7^F→hwanger: 因為任意一個實係數多項式理論上都可以分解成一堆一08/03 20:10

8^F→hwanger: 次和二次的實係數多項式相乘所以此手法保證了所有08/03 20:12

9^F→hwanger: 有理函數皆可以積分08/03 20:12

10^F推hwanger: 而在實務上就算遇到無法顯式寫下分解因子的多項式08/03 20:18

11^F→hwanger: 也可以用假設 alpha 或 beta+gamma*i, beta-gamma*i08/03 20:19

12^F→hwanger: 為其根作symbolic的積分08/03 20:20

13^F→hwanger: 而尋找alpha或beta gamma的近似值則是微積分的基本08/03 20:21

14^F→hwanger: 問題08/03 20:22

15^F推hwanger: 特別被拿來拍片的題目感覺的確不會是一般課堂的基08/03 21:39

16^F→hwanger: 本習題冏還是影片有給出非常漂亮的解法???08/03 21:41

17^F推hwanger: 我自己也是忽略了用變換變數硬湊的技巧就算的步驟08/03 21:48

18^F→hwanger: 的確比你們的複雜多了08/03 21:49

19^F推hwanger: !!! 我沒有特別去算冏有標準作法的積分我都丟電腦08/03 21:57

20^F→hwanger: 算或一些線上網頁如symbolab 或 wolframalpha08/03 21:59

21^F→hwanger: 值應該是一樓解答那個08/03 22:00

22^F→hwanger: 手算題目可以試試看 MIT integation bee08/03 22:00

23^F推hwanger: 不過我的觀念和你的有點出入我覺得非數學系的人應08/03 22:04

24^F→hwanger: 該把標準手法學好08/03 22:05

25^F推hwanger: 應該說不管是不是數學系都應該把基本手法學好冏08/03 22:15

26^F→hwanger: 畢竟微積分和複變的標準手法並不多08/03 22:17

27^F→hwanger: 標準手法並不多而且僅能勉強應付在應用時會遇到的08/04 08:31

28^F→hwanger: case, general cases 也只能靠感覺了08/04 08:33

31^F推hwanger: 喔喔高校數學所以重點在各式解題技巧上不過沒講08/04 10:23

32^F→hwanger: 部份分式也是有點怪怪的08/04 10:23

35^F推hwanger: XD 我之所以堅持在部份分式是因為他系統性地解決08/04 10:42

36^F→hwanger: 有理函數的積分就我的經驗對數學沒有感覺的人降08/04 10:42

37^F→hwanger: 次完就停住了有點可惜08/04 10:42

42^F推hwanger: R大說的沒錯只要看得出來很多事情根本多此一舉只08/04 13:35

43^F→hwanger: 是我沒那麼聰明 XD 很多事情我第一眼都看不出來08/04 13:36

44^F→hwanger: 不過我還是不認為f'/f這個技巧會比較基本畢竟他是08/04 13:38

45^F→hwanger: 一個概念性方法而不是真的一個算法08/04 13:39

53^F推hwanger: XD 我還是一樣用笨方法呀對分母配平方再變換變數08/04 14:17

54^F→hwanger: 我自己積分很少直接看出 f'/f的形式冏08/04 14:18

55^F推hwanger: 我比較會多此一舉 XD08/04 14:20

57^F推hwanger: ??? 你的例子 (x+1)dx/[(x+1)^2+3] = udu/(u^2+3)=08/04 14:34

58^F→hwanger: du^2/2[u^2+3] =dv/2(v+3) 先配方法再變換變數可以08/04 14:36

59^F→hwanger: 順便把arctan的問題考慮進來08/04 14:37

[微積] 一題極值範圍問題

[ Math ]5 留言, 推噓總分: +2

作者: o11005 - 發表於 2020/08/04 09:25(3年前)

1^F推hwanger: b有極值是因為其集合為緊緻集08/04 10:15

2^F→hwanger: 其他沒有極大值是因為當z=0時 x或y其中一個仍可跑08/04 10:15

3^F→hwanger: 到無窮大08/04 10:15

[微積] 關於一題微分方程的問題

[ Math ]12 留言, 推噓總分: +4

作者: haoxin0804 - 發表於 2020/08/03 22:19(3年前)

1^F推hwanger: 應該上面的思路才是對的但我不知道你的公式從何而08/04 08:12

2^F→hwanger: 來按正常的"Reduction of order" 應該是算出08/04 08:14

3^F→hwanger: v(x) =∫c/[y_1^2 I(x)]dx 對某些常數c08/04 08:16

4^F推hwanger: 也就是你的 y_2應該是對於某些可調整的常數c08/04 08:19

5^F→hwanger: y_2 = y_1∫c/[y_1^2 I(x)]dx08/04 08:20

6^F推hwanger: 而且關於c/[y_1^2 I(x)]的反導函數又可以得到一個08/04 08:23

7^F→hwanger: 新的常數d08/04 08:24

8^F→hwanger: in case 你只有公式而沒有推導過程可參照08/04 08:26

9^F→hwanger: https://en.wikipedia.org/wiki/Reduction_of_order08/04 08:26

10^F→hwanger: 的 1.2節 1.2General method08/04 08:27

11^F推hwanger: 另外也因為會有兩個可調整參數c d 所以才有兩個初08/04 08:38

12^F→hwanger: 始條件08/04 08:39

[神人] 666P幣尋找此女優與番號

[ japanavgirls ]10 留言, 推噓總分: +2

作者: solve991 - 發表於 2020/08/03 19:14(3年前)

1^F推hwanger: 中西里菜?08/03 21:12

5^F推hwanger: 雖然應該不是但看完影片腦中閃過宮本菜々花08/04 00:04

[神人] twitter看到的片段

[ japanavgirls ]2 留言, 推噓總分: +2

作者: handsomeball - 發表於 2020/08/03 04:20(3年前)

1^F推hwanger: 黒川すみれ?08/03 07:22

[中學] 請教一題四邊形求極值題目

[ Math ]10 留言, 推噓總分: +5

作者: yizihappyQ - 發表於 2020/08/02 12:48(3年前)

4^F推hwanger: 我比較好奇的是是只考慮所有可能的P滿足兩條垂線08/02 17:27

5^F→hwanger: 的垂足落在AD, BC線段上嗎08/02 17:27

6^F推hwanger: 雖然最小值的P一定會滿足就是了08/02 17:29

[其他] 求會定期出題的數學網站。

[ Math ]9 留言, 推噓總分: +4

作者: Ifault - 發表於 2020/08/02 04:43(3年前)

1^F推hwanger: 一樣是youtube 搜尋 MindYourDecision, Flammable M08/02 06:57

2^F→hwanger: ath, 或Michael Penn08/02 06:57

3^F推hwanger: blackpenredpen 或 MIT integration bee08/02 07:05

[其他] 請教歐拉角計算公式/有向角

[ Math ]108 留言, 推噓總分: +35

作者: magic83v - 發表於 2020/07/25 20:16(3年前)

1^F推hwanger: a,b間夾角T是用內積算 T= cos^{-1}(<a,b>) 其中<a,b07/26 14:40

2^F→hwanger: >是用內積座標用舊的即可07/26 14:40

3^F推hwanger: beta角只需要0到pi是因為pi到2pi的部份是多餘的可07/26 14:44

4^F→hwanger: 以透過旋轉不同的alpha和gamma達到相同的結果07/26 14:44

5^F推hwanger: 另外你問a,b之間的"有向角" 這個問題必須在 "對於a,07/26 15:10

6^F→hwanger: b所展開的子空間中有給定一個「有序基底」" 的前07/26 15:10

7^F→hwanger: 提下才有意義07/26 15:10

8^F推hwanger: 如果你的方向就是a轉到b 那用gram-schmidt可以找到07/26 15:16

9^F→hwanger: 一組同方向的正交基 e1 e2 將a b的座標用e1 e2表示07/26 15:16

10^F→hwanger: 就可以用平面的方法求有向角07/26 15:16

11^F推hwanger: 我不太清楚你的想法不過我猜下列可能解答你的問題07/26 18:54

12^F→hwanger: 對三維空間中的一平面及選定的一個法向量在保持右07/26 18:54

13^F→hwanger: 手定則的情況下平面上的方向是唯一的07/26 18:54

14^F推hwanger: 也就是說為了配合你選的法向量你子空間的有序基07/26 19:02

15^F→hwanger: 不再能亂選07/26 19:02

16^F推hwanger: 現在假設在三維空間下已經給定一組基底e1,e2,e3 現07/26 19:41

17^F→hwanger: 在給一個平面L及一個法向量n(假設為單位向量)07/26 19:41

18^F→hwanger: 那你可以用高斯消去法去確定n,e1,e2,e3的相依性並07/26 19:41

19^F→hwanger: 決定一組basis{n,ei,ej}07/26 19:41

20^F→hwanger: 用gram-schmidt得到一組正交基 n, f1,f207/26 19:41

21^F→hwanger: 如果det[n,f1,f2]>0 則f1,f2就是平面的有序基如果07/26 19:41

22^F→hwanger: 小於0 則有序基是f2,f107/26 19:41

23^F推hwanger: 以上的算法一定不是最快的但是直觀性最強的07/26 19:44

24^F推hwanger: 歐拉角的逆運會是唯一嗎>>>我不太懂這段的意思07/26 20:28

25^F推hwanger: "這個交點線的方向只用z,Z 外積得到的話方向也是07/26 20:36

26^F→hwanger: 取決於角度">>>你算的方向不會取決於角度注意beta07/26 20:36

27^F→hwanger: 介於0到pi之間07/26 20:36

28^F→hwanger: zxZ的方向是從z出發經由zZ之間小於pi的角再到Z07/26 20:36

29^F→hwanger: 用右手四指表示旋的方向大姆指指向外積結果的方向07/26 20:36

30^F推hwanger: "前面講的是假設我有有序基底07/26 20:43

31^F→hwanger: 如果沒有的話還有什麼做法嗎？">>>這邊我其實一直07/26 20:43

32^F→hwanger: 都不太懂為什麼要特地討論有向角算歐拉角其實不用07/26 20:43

33^F→hwanger: 考慮這些東西07/26 20:43

34^F推hwanger: "一定能得到 [XYZ] = R [e1,e2,e3]嗎" >>>對更嚴07/26 20:53

35^F→hwanger: 謹的說一個向量v在xyz下的座標是(a,b,c) 在XYZ下07/26 20:54

36^F→hwanger: 的座標是(A,B,C) 則 (A,B,C)^t= [R] (a,b,c)^t07/26 20:54

37^F推hwanger: 其實不會太難看出來 R其實就是連續作用三次平面旋07/26 20:59

38^F→hwanger: 轉每次都把舊座標換成新的中途點座標07/26 20:59

39^F推hwanger: 例如x軸在你只轉z軸alpha時其座標變成(cos alpha,07/26 21:03

40^F→hwanger: -sin alpha, 0)07/26 21:03

41^F→hwanger: Ok 是我沒有想清楚算x和N的角度及 N和X的角度時07/26 21:28

42^F→hwanger: 的確需要有向角的觀念07/26 21:29

43^F推hwanger: "我計算歐拉角的觀念是" >>>這段是對的不過beta其07/26 21:35

44^F→hwanger: 實就用zZ夾角就可以了07/26 21:36

45^F→hwanger: "並不是得到原本的XYZ基底">>> 這段我不懂07/26 21:38

46^F→hwanger: [R]是用來轉換任一個向量的舊座標和新座標用的07/26 21:41

47^F→hwanger: 比如說一個向量v在舊座標下是(1,0,0) 則新座標就是07/26 21:43

48^F→hwanger: (cos a cos r - cos b sin a sin r, -cos a sin r -07/26 21:45

49^F→hwanger: cos b sin a cos r, sin b sin a)07/26 21:46

50^F→hwanger: 跟高中時的平面旋轉的座標轉換一樣07/26 21:47

51^F推hwanger: 另外你所謂的"俯視軸" 其實就是之前我說的選定的07/26 21:58

52^F→hwanger: 法向量07/26 21:58

53^F推hwanger: 而 N 就是 z cross Z這點是沒有問題的07/26 22:02

54^F推hwanger: 下面這篇文章可能幫助理解 [R]07/26 22:16

55^F→hwanger: shorturl.at/bdHR707/26 22:17

56^F→hwanger: 更正 http://shorturl.at/bdHR707/26 22:18

57^F→hwanger: [R]就是座標變換矩陣07/26 22:20

58^F推hwanger: 更正 [R]就是"基底變換矩陣"07/26 22:22

59^F推hwanger: "想要[e1,e2,e3] 經過R之後得到XYZ軸的單位方向">>>07/26 23:52

60^F→hwanger: 如果你的[e1,e2,e3]是個3x3矩陣那就有些問題07/26 23:52

61^F→hwanger: 實際上如果你把XYZ用相對於xyz的座標表示則[ X,Y,07/26 23:52

62^F→hwanger: Z]=R^{-1}07/26 23:52

63^F推hwanger: "並非繞x y’ z”這樣轉的順序">>>歐拉角是z x' z''07/26 23:55

64^F→hwanger: 這樣轉其中N就是x'07/26 23:55

65^F推hwanger: 「等於我上面寫的 “順推跟回推”的”角”並不一樣07/27 00:05

66^F→hwanger: 」>>>我還是不太懂這段07/27 00:05

67^F→hwanger: 如果相對xyz, 我們寫出X=(Xx, Xy, Xz)^t ;Y=(Yx, Yy07/27 00:05

68^F→hwanger: , Yz)^t; Z=(Zx, Zy, Zz)^t, 則R^{-1}這個矩陣就是07/27 00:05

69^F→hwanger: [X,Y,Z]07/27 00:05

70^F推hwanger: 如果e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=(0,0,1) 則R^{-1}[e107/27 00:12

71^F→hwanger: ,e2,e3] =[X,Y,Z]07/27 00:12

74^F推hwanger: 沒有看到你的程式碼很難判斷到底哪裡出了問題不過07/28 23:05

75^F→hwanger: 你可以先試試簡單的case 譬如beta=0的狀況去debug07/28 23:05

76^F推hwanger: https://paste.ofcode.org/gUNJLVg6ieKCvfwD49kjXg07/29 16:49

77^F→hwanger: 這是我修改後的代碼主要修改了theta3d(a,b,n)這個07/29 16:51

78^F→hwanger: 函數因為我看不懂你原來的邏輯所以我就用我之前說07/29 16:52

79^F→hwanger: 的邏輯重寫另外我修改了euler_reverse的typo07/29 16:53

80^F推hwanger: https://paste.ofcode.org/MkYJgKLiBpKxEVpk9NNVLk07/29 18:48

81^F→hwanger: 上面這個是我重新理解你的邏輯後做修改的你原本的07/29 18:49

82^F→hwanger: 問題主要是發生在你不管arctan2產出什麼都加了Pi07/29 18:50

83^F推hwanger: 你應該是介於0到pi的不動介於-pi到0的平移2pi才對07/29 18:53

84^F推hwanger: 如果你接受alpha和gamma的值可以在-pi到pi之間的話07/29 20:26

85^F→hwanger: 那theta3d可以直接傳回np.arctan2(det, dot)07/29 20:27

86^F推hwanger: 順帶一提 euler這個函數並沒有處理大N為0的情況或07/29 20:30

87^F→hwanger: 設定大N接近0的敏感度如果這個程式只是練手的話就07/29 20:31

88^F→hwanger: 不需要特別管他07/29 20:32

89^F推hwanger: 最簡單的方法就是如果大N的長度夠小時(比如小10的07/29 21:01

90^F→hwanger: -6或-7 或在高精度下-14之類的) 就讓beta為0或pi07/29 21:04

91^F→hwanger: 並讓gamma為0 只算alpha就可以了07/29 21:05

92^F→hwanger: 但應該視你之後應用數據的東西的特性再做更詳細的判07/29 21:08

93^F→hwanger: 別方法07/29 21:08

94^F推hwanger: 如果照上面最簡單的想法那就是07/29 21:13

95^F→hwanger: alpha = theta3d(x_axis, X_axis, z_axis)07/29 21:14

96^F→hwanger: beta = 0 if Z_axis[2] > 0 else np.pi07/29 21:17

97^F→hwanger: gamma = 007/29 21:18

98^F推hwanger: 更進階的方法就是用微積分的線性逼近對不同的情況作07/30 11:51

99^F→hwanger: 處理可以參照下列兩個分析的精神07/30 11:53

100^F推hwanger: https://shorturl.at/acrD2 又及07/30 11:55

101^F→hwanger: https://shorturl.at/uKNPW07/30 11:57

102^F推hwanger: 依照英文wiki解歐拉角的思路解alpha, beta, gamma08/01 09:41

103^F→hwanger: 的確不需要特別去處理三維空間的有向角08/01 09:41

104^F→hwanger: 如果我們讓X=(X0,X1,X2),Y=(Y0,Y1,Y2),Z=(Z0,Z1,Z3)08/01 09:42

105^F→hwanger: 則 X2=sin(b)sin(r), Y2=sin(b)cos(r)08/01 09:43

106^F→hwanger: Z0=sin(b)cos(a), Z1=-sin(b)cos(a), Z2=cos(b)08/01 09:43

107^F推hwanger: 依此邏輯我重寫了程式碼08/01 09:46

108^F→hwanger: https://paste.ofcode.org/36DNmNx7AjEnKgmSKYmxZui08/01 09:46

[線代] 解題技巧

[ Math ]17 留言, 推噓總分: +4

作者: nimaderto - 發表於 2020/07/28 16:17(3年前)

9^F推hwanger: 如果你能在不換行不換列,不對某行或某列做倍數乘積07/28 22:55

10^F→hwanger: 的狀態下做高斯消去其行列式值不變07/28 22:55

11^F→hwanger: 如果能做到上三角或下三角的狀態那行列式值會異常07/28 22:55

12^F→hwanger: 好算07/28 22:55

13^F→hwanger: 這題只是變成block matrices的形式07/28 22:56

Jordan form求方陣函數

[ Math ]8 留言, 推噓總分: +4

作者: VenSQ - 發表於 2020/07/26 00:31(3年前)

1^F推hwanger: 一樣假設f可在原點展開因為你的矩陣是兩個子矩陣07/26 14:04

2^F→hwanger: 一個2x2一個1x1 冪次方運算互不干擾所以2x2那個代07/26 14:04

3^F→hwanger: 圖片上方的公式 1x1那個則是f(lambda_2)07/26 14:04

4^F推hwanger: 所以就是 f(A)=S[f(lambda_1), f'(lambda_1), 0; 0,07/26 14:13

5^F→hwanger: f(lambda_1), 0; 0, 0, f(lambda2)] S^{-1}07/26 14:13

6^F推hwanger: 上面式子用分號 ";" 隔開每一橫列07/26 14:15

7^F推hwanger: 這裡跟S能不能寫成特定形式無關如同圖片上方2x2的07/26 14:20

8^F→hwanger: 證明和S無關07/26 14:20

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