Re: [解題] 高中數學證明
※ 引述《candyangela (Ti amo.)》之銘言：
: 1.年級：高中
: 2.科目：數學
: 3.章節：不確定
: 4.題目：
: 已知x^3+ax+b=0有三相異實根，試證明4a^3+27b^2<0為其充要條件。
: 5.想法：
: 目前我是希望可以利用根與係數的關係
: 來把a和b用三個實根來代表
: 可是在a^3的時候會遇到後面無法再繼續解下去的困難
: 另外我也想過用勘根定理的方式
: 可是也同樣找不出下手方向
: 請恕在下想法有些簡單
: 不過因為這是以前的學生打電話來拜託的
: 短時間內也只能想到這些
: 還請板上各位高手見諒
設三根為p,q,r, 令S_k=p^k+q^k+r^k
S_1=0, S_2=-2a, S_3=3pqr=-3b, S_4=-a(-2a)-b(0)=2a^2
易知 有三(相異)實根 <=> D=[(p-q)(p-r)(q-r)]^2≧(>)0 (因虛根共軛)
｜1 1 1 ｜ ｜1 p p^2｜ ｜ 3 S_1 S_2｜ ∣ 3 0 -2a ｜
D=｜p q r ｜×｜1 q q^2｜=｜S_1 S_2 S_3｜=∣ 0 -2a -3b ｜=-4a^3-27b^2
｜p^2 q^2 r^2｜ ｜1 r r^2｜ ｜S_2 S_3 S_4｜ ∣-2a -3b 2a^2｜
※ 編輯: XII 來自: 118.166.193.99 (07/23 23:20)
討論串 (同標題文章)