※ 引述《candyangela (Ti amo.)》之銘言：
: 1.年級：高中
: 2.科目：數學
: 3.章節：不確定
: 4.題目：
:
已知x^3+ax+b=0有三相異實根，試證明4a^3+27b^2<0為其充要條件。
:
沿用原想法：
: 希望可以利用根與係數的關係，來把a和b用三個實根來代表
設此3相異實根為m,n,r，則有
甲、m+n+r = 0， 乙、a= mn+mr+nr， b= -mnr
一、分析三實根情形：有
(1)其中一根為0，設m=0,n<0,r>0,
則a<0,b=0，顯然成立。
(2)3根均不為0，有2情形，
可設(i)m>0,n>0,r<0或(ii)m<0,n<0,r>0
討論(i),由乙，a= mn+r(m+n),b= -(mn)r ---物以類聚
再令u= m+n,v= mn,則由甲,r= -u,則 a=v-u*u,b= uv
又因m,n為相異實數，故有丙、u*u>4v,u>0,v>0
(3)令t=v-u*u,則t+3v<0(由丙),u*u=v-t
則4a^3+27b^2
= 4(v-u*u)^3 +27(uv)^2
= 4(v-u*u)^3 +27(u*u)v^2
= 4t^3 +27(v-t)v^2
= 4t^3 -27t*v^2 +27v^3
= (t^3 +27v^3) + 3t^3 -27t*v^2
= (t^3 +27v^3) + 3t(t^2 -9*v^2)
其中左括號利用因式分解及t+3v<0，而右括號中因t<-3v<0 (v>0)，
則t^2 -9*v^2 >0及3t<0,故4a^3+27b^2<0 得證
(ii)仿此亦可得
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