Re: [解題] 高中數學證明
※ 引述《YmemY (*＊米)》之銘言：
: 對於三"相異實根"我想不到什麼下手的好方法，
: 只好畫圖看看，發現峰點和谷點必須在Ｘ軸的上下側，一正一負。
: 所以先利用微分一次＝０找到相對極值發生的位置，
: 再分別代入原函數，此兩式相乘必須小於０，可找到a和b的關係~
: 此法請你參考看看，至於高中的方法我想不到:P
: ※ 引述《candyangela (Ti amo.)》之銘言：
: : 1.年級：高中
: : 2.科目：數學
: : 3.章節：不確定
: : 4.題目：
: : 已知x^3+ax+b=0有三相異實根，試證明4a^3+27b^2<0為其充要條件。
f(x) = x^3 + ax + b
f'(x) = 3x^2 + a
suppose m and n are two roots of f'(x) = 0
then f(x) has three different real roots
iff
f(m) f(n) < 0
i.e.
( m^3 + am + b )( n^3 + an + b ) < 0 -- (1)
since m and n are roots of f'(x) = 0
then 3m^2 + a = 0 and 3n^2 + a = 0
Hence am = -3m^3 and an = -3n^3
so (1) becomes
( b - 2m^3 )( b - 2n^3 ) < 0
this is
b^2 -2b( m^3 + n^3 ) + 4(mn)^3 < 0 -- (2)
since m and n are roots of f'(x) = 0
m + n = 0 and mn = a/3
Thus m^3 + n^3 = ( m + n )^3 -3mn( m + n ) = 0
(2) becomes
b^2 + 4(a^3/27) < 0
Thus
27b^2 + 4a^3 < 0
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◆ From: 64.234.33.117
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07/23 18:00, , 1F
07/23 18:00, 1F
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