Re: [微分] 很簡單

看板trans_math作者 (希望願望成真)時間14年前 (2009/10/10 15:23), 編輯推噓1(1推 0噓 85→)
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※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言： ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 118.233.43.76
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10/10 01:03,
我想一下@@
10/10 01:03
推
10/10 01:15,
題目一開始給f(x)=0 ifx=0感覺很多餘?
10/10 01:15
→
10/10 01:31,
感覺要回到導函數的定義求法
10/10 01:31
確實是這樣阿 不知道midarmyman昨天晚上後來有沒有去查導函數和導數相關的定義 f(x+h) - f(x) 導函數f'(x) = lim -------------- h->0 h 所以你給的函數f'(0) = 用上面這個方式求得的值 = 0 這是對的 其中f(0) = 0就是題目給的 但是有一點你要注意的是lim f(x) = 0 這個值0未必一定要是f(0) x->0 這次題目剛好讓它=0是因為這樣就滿足lim f(x) = f(0)連續的性質 x->0 ( 因為x^2 sin(1/x)在x=0的左右極限都剛好是0 ) f(x)就有連續的好性質 記得很多書上極限單元都會畫很多圖 告訴你什麼是極限值未必要等於函數在那點的值 這裡的意思就是這樣 另外2xsin(1/x) - cos(1/x)因為是在x^2 sin(1/x)有定義的區間微分 所以2xsin(1/x) - cos(1/x)在 x=0+ 與 x=0- 的極限代表lim f'(x) 與 limf'(x) x->0+ x->0- 事實上前面一篇我也把左右極限的特性描述出來 是屆於在-1 ~ 1之間震盪得很厲害 不是1或者-1任何一個這樣單純的特定數值 但是同前面題到的的 lim f'(x) 或者 limf'(x) 未必要和f'(0)相等 x->0- x->0+ 這代表f'(x)的導函數在x=0上不連續 然而f'(x) 在 x=0 處就只有一個值 那就是f'(0) (前面導函數代x=0的結果或者直接從導數定義做) 你不妨就把f'(x)看作是另外一個函數h(x) 再用上從前對於極限的定義 就不難理解 你甚至就把全部的函數都看作是一個點一個點的定義都沒關係 有時候這樣更能有效理解這題要問的重點 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 122.124.99.26
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10/10 15:24, , 1F
另外 7251篇就幾乎和這題很像 不知道你
10/10 15:24, 1F
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10/10 15:24, , 2F
有沒有注意 define f(x)=e x=0 的意義就
10/10 15:24, 2F
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10/10 15:25, , 3F
和x^2 sin(1/x)這題類似
10/10 15:25, 3F
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10/10 15:26, , 4F
但是有個關鍵點 為何我在那題可以直接把
10/10 15:26, 4F
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10/10 15:27, , 5F
lim ... = -f'(0) 這個你也可以想一想和
10/10 15:27, 5F
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10/10 15:28, , 6F
本題差在哪裡
10/10 15:28, 6F
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10/10 15:41, , 7F
這跟原po要問的問題沒啥關係吧～～
10/10 15:41, 7F
→
10/10 15:42, , 8F
原po把微完的函數 用0帶入,而非 用0逼近
10/10 15:42, 8F
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10/10 15:43, , 9F
但原po錯把 g(x) = x^2sin(1/x) if x≠0
10/10 15:43, 9F
→
10/10 15:43, , 10F
f'(0) = g'(0) , 但實際上那兩個導函數
10/10 15:43, 10F
→
10/10 15:44, , 11F
一點關係也沒有
10/10 15:44, 11F
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10/10 15:45, , 12F
　　　　　　　　　　　　　 導數
10/10 15:45, 12F
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10/10 15:46, , 13F
討論 f'(x) 在x=0是否連續又是令一回事了
10/10 15:46, 13F
→
10/10 15:48, , 14F
他把微分之後直接代0 做的就是那件事
10/10 15:48, 14F
→
10/10 15:49, , 15F
就像stepfunction x>0的部分直接代入零
10/10 15:49, 15F
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10/10 15:49, , 16F
以為是1 但實際上H(0)可以不是1
10/10 15:49, 16F
→
10/10 15:55, , 17F
但我覺得還是要分開討論
10/10 15:55, 17F
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10/10 15:55, , 18F
因為可以直接微出導函數，是因為我們所知
10/10 15:55, 18F
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10/10 15:56, , 19F
的函數在domain上是連續可微的
10/10 15:56, 19F
→
10/10 15:56, , 20F
微完後的函數又是初等函數的組合
10/10 15:56, 20F
→
10/10 15:57, , 21F
直接微分出來的函數代0的意義 或者嚴格
10/10 15:57, 21F
→
10/10 15:57, , 22F
所以在某些domain上也是具有連續可微特性
10/10 15:57, 22F
→
10/10 15:57, , 23F
講是極限 其實是x=0兩邊的左右極限
10/10 15:57, 23F
→
10/10 15:57, , 24F
但 "導函數" 其實就只是 "導數" 的"集合"
10/10 15:57, 24F
→
10/10 15:58, , 25F
也沒有一個定理說導函數會有連續特性
10/10 15:58, 25F
→
10/10 15:58, , 26F
沒錯阿 所以我說只要看導函數定義就解決
10/10 15:58, 26F
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10/10 15:58, , 27F
只是事後求出導函數後會發現有連續
10/10 15:58, 27F
→
10/10 15:59, , 28F
不連續而已，跟求導數還是兩回事吧～～
10/10 15:59, 28F
→
10/10 16:01, , 29F
我從來也沒說導函數一定要連續 怎麼得出
10/10 16:01, 29F
→
10/10 16:02, , 30F
在x>0 x<0範圍直接微分 這沒有異議吧
10/10 16:02, 30F
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10/10 16:04, , 31F
我也沒說導函數一定要連續...
10/10 16:04, 31F
→
10/10 16:04, , 32F
我的意思是，用 limf'(x) if x→0
10/10 16:04, 32F
→
10/10 16:04, , 33F
跟 f'(0) 沒關係
10/10 16:04, 33F
→
10/10 16:04, , 34F
您所打的這篇再說這回事
10/10 16:04, 34F
→
10/10 16:04, , 35F
f(0) = 0多餘的 這個不是我說的XD
10/10 16:04, 35F
→
10/10 16:05, , 36F
但還是沒點到為何沒關係
10/10 16:05, 36F
→
10/10 16:05, , 37F
ㄟ兜　我知道XDD
10/10 16:05, 37F
→
10/10 16:06, , 38F
對阿 在x=/=0的地方 我就直接用f'(x)代
10/10 16:06, 38F
→
10/10 16:06, , 39F
替
10/10 16:06, 39F
→
10/10 16:07, , 40F
所以我說不能2xsin(1/x)-cos(1/x)直接求
10/10 16:07, 40F
→
10/10 16:07, , 41F
f'(0) 就是他以為直接代0這件事
10/10 16:07, 41F
→
10/10 16:11, , 42F
f'(0)和2xsin(1/x)-cos(1/x)從導函數定
10/10 16:11, 42F
→
10/10 16:11, , 43F
義看就不見得要是一樣 即使f(x)在x=0連
10/10 16:11, 43F
→
10/10 16:12, , 44F
定義都沒有 也是可以有左右極限
10/10 16:12, 44F
→
10/10 16:14, , 45F
所以h(0)和h(0+)h(0-)沒關係 不就很自然
10/10 16:14, 45F
→
10/10 16:16, , 46F
我了解你說的 但是我這邊只是就f(x)本身
10/10 16:16, 46F
→
10/10 16:16, , 47F
的性質來看 你是把f(x)的一部分當成另一
10/10 16:16, 47F
→
10/10 16:16, , 48F
個完全不同的函數看待 在這裡殊途同歸
10/10 16:16, 48F
→
10/10 16:17, , 49F
我不覺得意義上有什麼衝突 有衝突就糟了
10/10 16:17, 49F
推
10/10 16:28, , 50F
我覺得你的解釋有點像是:
10/10 16:28, 50F
→
10/10 16:28, , 51F
f'(x) 可以直接帶0 ,是因為f'(x) 在
10/10 16:28, 51F
→
10/10 16:29, , 52F
x=0 連續。但 f'(x) 在x=0 不連續
10/10 16:29, 52F
→
10/10 16:29, , 53F
所以不能那樣帶，要由導函數定義求
10/10 16:29, 53F
→
10/10 16:31, , 54F
但我還是覺得原po問題用導(函)數定義
10/10 16:31, 54F
→
10/10 16:31, , 55F
就能知道他哪裡錯了
10/10 16:31, 55F
→
10/10 16:32, , 56F
跟 f'(0+) f'(0-) 沒啥關係~~
10/10 16:32, 56F
→
10/10 16:33, , 57F
即使原po把0帶入他所求的導函數
10/10 16:33, 57F
→
10/10 16:33, , 58F
很像是 "取極限"，但那並非其原因
10/10 16:33, 58F
→
10/10 16:34, , 59F
導(函)數 定義死死的，套下去一定沒錯
10/10 16:34, 59F
→
10/10 16:34, , 60F
我會假設 g(x) 這個函數，只是方便原po
10/10 16:34, 60F
→
10/10 16:35, , 61F
可以了解 f(x) 這個函數是如何做 mapping
10/10 16:35, 61F
→
10/10 16:39, , 62F
你搞錯了 我第一開宗明義就是用導函數
10/10 16:39, 62F
→
10/10 16:39, , 63F
所以f'(0)就是由導函數得到的 文中說得
10/10 16:39, 63F
→
10/10 16:39, , 64F
很清楚 我也告訴他微出來的直接代0的意
10/10 16:39, 64F
→
10/10 16:40, , 65F
思是什麼 並不一定是f'(0) 用導數定義求
10/10 16:40, 65F
→
10/10 16:40, , 66F
得的f'(0)是一定對的 就這樣 沒有衝突
10/10 16:40, 66F
→
10/10 16:43, , 67F
我有事先出門一下~~
10/10 16:43, 67F
→
10/10 16:48, , 68F
ㄟ兜，我幫你把這篇重點點出來:
10/10 16:48, 68F
→
10/10 16:48, , 69F
<1> h(0) 套導(函)數定義求出
10/10 16:48, 69F
→
10/10 16:49, , 70F
<2> h(0+) h(0-) 不一定要等於 h(0)
10/10 16:49, 70F
→
10/10 16:50, , 71F
其中 h(x) for x≠0 等於原po求的導函數
10/10 16:50, 71F
→
10/10 16:51, , 72F
但你還是沒點出為何 <2>的h(0)
10/10 16:51, 72F
→
10/10 16:51, , 73F
跟 <1> 的h(0) 是不一樣的
10/10 16:51, 73F
→
10/10 17:59, , 74F
<1>和<2>的當然是一樣的阿 一個f會有兩
10/10 17:59, 74F
→
10/10 18:00, , 75F
個f'(0)嗎? 呵呵
10/10 18:00, 75F
→
10/10 18:00, , 76F
我的意思是所有的包含微分出來的函數都
10/10 18:00, 76F
→
10/10 18:01, , 77F
只要用導(函)數定義去做 根本就不必管你
10/10 18:01, 77F
→
10/10 18:02, , 78F
所謂的什麼g'(0) 對f(x)就只有f'(0)
10/10 18:02, 78F
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10/10 18:03, , 79F
f(x)要不然有一個f'(0) 要不然沒有
10/10 18:03, 79F
→
10/10 18:23, , 80F
我指的不一樣是指用微分求得的 h(x)
10/10 18:23, 80F
→
10/10 18:24, , 81F
直接帶0 跟用導數求的 h(0) 不一樣
10/10 18:24, 81F
→
10/10 18:25, , 82F
原因是微分求得的 h(x) 條件為x≠0
10/10 18:25, 82F
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10/10 18:26, , 83F
跟 h(0) = ? 一點關係都沒有
10/10 18:26, 83F
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10/10 18:27, , 84F
但您所說的 <2>點 跟這件事沒有關係
10/10 18:27, 84F
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10/10 18:28, , 85F
雖然講的東西都對，但有沒有回答到原po
10/10 18:28, 85F
→
10/10 18:28, , 86F
的問題才是我再說的重點 OTZ
10/10 18:28, 86F
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