Re: [考古] 幾個題目
※ 引述《xSAUCEx (小絢)》之銘言：
: 1.let f be a real valued function defined on R with f''>0 for all x
: show that f(x)>= f(0)+f'(0)x
: 沒啥頭緒,有想過均值定理,但不知怎麼用
令F(x) = f(x)-f(0)-f'(0)x
F(0) = 0
F'(0) = f'(0) - f'(0) = 0
設 至少存在一點x = c =/= 0使得f(x) < f(0) + f'(0)x
F(c) < 0
由平均值定理知必存在一x = d介於0和c之間
F(c) - F(0) F(c)
使得 F'(d) = ---------- = --------- 和c異號
c c
再次使用平均值定理知必存在一點e介於0和d之間
F'(d) - F'(0) F'(d)
使得 F''(e) = ------------ = ------------ < 0
d d
顯然與F''(x) = f''(x) > 0 for all x矛盾
所以原命題得證
: sinx- g(x)
: 2. 5次多項式g(x)滿足lim ---------- =0 則g(x)=?
: x->0 x^5
: 我很直觀得把g(x)=sinx 然後再展開成冪級數
: 可是感覺怪怪的,觀念上不太對
: 3. 找出曲面 z^2 + xy - 2x - y^2 = 1 上所有切點，且其切面要與 z=2平行
: 我算X=4 Y=2帶回的Z=±√5 不知道答案對不對
: 4.設f在區間[a,b]上為二階可微分,舉一反例以說明陳述
: [若f在區間[a,b]上微凸狀,則f"(x)>0,對所有x屬於(a,b)]不真
: 這題我一點頭緒都沒有
: 5.(1)f:D->R:f(x,y)=e^x其中D={(x,y)屬於R^2|0<=x<=1,0<=y<=1};
: (2)對所有a屬於R,S(a)={(x,y)屬於R^2|x+y<=a}
: (3)G(a)="f在S(a)和D上交集的二重積分"
: 求G(a)?
: 我卡在積分範圍,要怎麼討論阿??
: 以上題目還請各位解答,多謝了
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