Re: [請益] 國中數學
設x=10^4
觀察數列：
a_1=10001=x+1=73*137 為合成數
a_2=100010001=x^2+x+1=3*(略) 為合成數
a_3=1000100010001=x^3+x^2+x+1=(x+1)*(x^2+1) 為合成數
a_4=10001000100010001=x^4+x^3+x^2+x+1
x^5-1 10^20-1 10^5-1 10^5+1 10^10+1
=─── =────=(────)*(───)*(────) 為合成數
x-1 9999 3*3 11 101
pf：
首項a_1=10001=73*137 為合成數
設奇數項為a_2n-1 = x^(2n-1)+.....+x+1 (n大於1)
x^2n -1 (x^2 -1)*[x^(2n-1) +x^(2n-3) +....+1]
= ──── = ───────────────────
x-1 x-1
= (x+1)*[x^(2n-2) +x^(2n-4) +....+1] 為合成數
設偶數項為a_2n = x^2n +.....+x+1 (n大於等於1)
x^(2n+1) -1 [10^(2n+1)]^4 -1
= ────── = ─────────
x-1 9999
[10^(2n+1) -1]*[10^(2n+1) +1]*[10^(4n+2) +1]
= ──────────────────────
3*3*11*101
10^(2n+1) -1 10^(2n+1) +1 10^(4n+2) +1
= ─────── * ─────── * ───────
3*3 11 101
易證11整除10^(2n+1) +1 ，易證101整除10^(4n+2) +1 ，故偶數項為合成數
故得證此數列的所有數都是合成數
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