Re: [問題] 高一數學
※ 引述《rfdgrfdg (Waiting)》之銘言：
degf(x)=100
f(1)=1 f(2)=1/2 f(3)=1/3 ... f(101)=1/101
求f(102)=?
相信大家看到這裡都會有個直覺性的答案f(102)=1/102
不過f(x)=1/x並不是多項式耶 冏mmm
這題我幾乎沒有頭緒
用拉格郎奇法也拉不出來
這是高一的段考題 o.O!
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我先說,我沒算出答案
只算出了f(x)...
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首先,
由f(1)=1 可得:f(x)=(x-1)q1(x)+1 -----(1)
再將x=2代入:f(2)=q1(2)+1=1/2 → q1(2)=-1/2 得q1(x)=(x-2)q2(x)-1/2
然後將q2(x)代入(1)式
整理可得:f(x)=(x-1)(x-2)q2(x)-(1/2)(x-1)+1
接著,用以上的方法
將x=3,x=4,x=5............x=100代入 (因為degf(x)=100,所以代到100就好)
其實我的算術很弱又很慢又很懶
所以我只代到x=4
然後就發現一件神奇的規律
但是我沒有欣喜的感覺,反而落下了男兒淚
因為規律如下:
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)q4(x)
-(1/24)(x-1)(x-2)(x-3)
+(1/6)(x-1)(x-2)
-(1/2)(x-1)
+1
所以
最後代到x=100時,應該會得到:
f(x)=a(x-1)(x-2)......(x-100)
-(1/100!)(x-1)(x-2)......(x-99)
+(1/99!)(x-1)(x-2)......(x-98)
...
...
...
-(1/4!)(x-1)(x-2)(x-3)
+(1/3!)(x-1)(x-2)
-(1/2!)(x-1)
+1
然後把x=101代入,即可求得a=1/101!
a很好求,因為第二項會等於最後一項;第三項等於倒數第二項...以此類推
接下來題目要的f(102)...就是一連串的
分母為兩個階乘,然後一正一負一正一負的sigma了...
f(102)=101!/101!-101!/(2!*100!)+101!/(3!*99!).......-101!/(100!*2!)+1
這...
希望有強者能包下這個龐大的工程
或是
點出我哪裡步驟發生錯誤了(讓我趕快刪文免得丟臉XD)
或者
直接遞上速解法造福大家XDDDDD
沒能解出答案 請各位見諒QQ
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 124.8.20.192
※ 編輯: baseketed 來自: 124.8.20.192 (02/03 17:04)
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02/03 17:05, , 1F
02/03 17:05, 1F
※ 編輯: baseketed 來自: 124.8.20.192 (02/03 17:50)
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