Re: [請益] 大家接受偶數跟自然數一樣多嗎?

看板ask-why作者Hseuler (藍色貍貓)時間16年前 (2009/05/30 15:17)推噓11(11推 0噓 11→)

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※ 引述《COCOAII (忍者=會忍耐的人)》之銘言： : 我大概知道原po的想法。 : 就是不包含0的自然數，除了包含偶數，還包含奇數。 : 你看，自然數有偶數的2,4,6,......，除此之外，還有奇數的1,3,5,......。 : 這不也很符合日常生活的想法？ : 我除了有你的所有東西之外，我還擁有額外的東西， : 這不就表示我的東西比你的還要多？原PO問題正是伽利略悖論伽利略發現雖然自然數包含正偶數也就是說偶數只是{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.....} 的一部分但是偶數集合和自然數集合竟然是等勢的(例如構造一函數f(x)=2x) 因為既然兩者等勢那應該一樣多但是依照歐幾里得‧幾何原本的第五公理(不是平行公設的第五公設)：整體大於部分 ( 當然用直觀想這是廢話不用招喚歐幾里得自然數比正偶數多出了正奇數那部分 ) 那麼自然數應該比較多啊基本會覺得矛盾是應該的畢竟伽利略那麼聰明的數學家都覺得怪了我高中的時候問我們數學老師一個類似的問題兩公分線上的點和一公分線上的點哪個點的數量比較多呢? 他也覺得兩公分線上的點應該要比一公分線上的點多才對。 1.兩公分可以把一公分包住耶 2.兩公分會比那一公分多出一公分但是f(x)=2x 這樣看兩者卻要一樣多當然這邊的問題就出現在什麼是一樣多? === 當然康托並不認為這是悖論無窮集合並不能從整體和部分的關係來看兩個集合的大小舉例來說整數雖然包含自然數但兩者等勢。有理數包含整數，但兩者等勢。(拿座標釘子板加一根線就可以證明) 實數包含有理數，但兩者卻不等勢。(對角線論證) 兩者等勢的條件是 " 若X和Y為有限集合，則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裡，這被當做「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，一用以分辨無限集合的不同大小。 " 有人就會把"等勢"看作"一樣多" 原PO的問題是那些多出來(基數)的怎麼辦? 基本上康托會告訴你雖然那些會多出來但是我只要有辦法製造一個函數讓他們雙射兩者就算等勢(就算一樣多了) 用另外一個例子來看兩公分線上的點和一公分線上的點一不一樣多? http://0rz.tw/MTYIm 右邊的圖雖然對應的時候有一些點會沒有對應到但是只要我有辦法找到一個函數也就是稍微旋轉一下正如左邊的圖就有辦法對應了不會跑出空的地方只要有辦法對應到就算一樣多了同樣的自然數和偶數雖然自然數會多出那一些出來也就是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 4 6 8 10 12..... 中間會有空但是我只要找到一個函數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.... 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20.... 你看這樣就沒空隙了只要你有辦法沒有空隙就算一樣多了或是說兩者等勢 (當然因為我這邊考慮的都是可數的才有辦法列出來) 當然，集合論受到很多的攻擊，包括Cantor的老師克羅內克(Leopold Kronecker) 用各種手段病態的言詞來攻擊Cantor長達十年阻止它拿到比較高等的教職甚至連天才數學家龐嘉萊(Poincaré)都嘲笑他的理論以Erlangen 綱領著名於世的F.Klein 也反對集合論數學家Hermann Weyl攻擊他的基數觀點是霧上之霧數學家H.A.Schwarz原本是她的好朋友，因為集合論和他絕交 (正是柯西史瓦茲不等式的Schwarz) 最後他當然到精神病院去了但是分析學之父Weierstrass接受Cantor的想法最後和克羅內克絕交領袖級的數學家David Hilbert也支持集合論他甚至說沒有人能夠把我們從Cantor為我們建造的樂園中趕出去。可惜數學界接受集合論是它發瘋死去以後的事情了基本上現代的數學教科書都會使用集合論的符號到達高峰正是法國的布爾巴基學派(Bourbaki) 他們試圖把整個數學建立在集合論上例如他們出了十卷的數學原本(Éléments de mathématique) 從代數拓撲單實變函數拓撲向量空間積分交換代數李群譜理論... (注意不是數理邏輯他們很鄙視數理邏輯認為那不重要邏輯只需最低限度有些成員甚至在書中無情的嘲弄羅素等等邏輯主義者) 當然他們有成員想要試圖以範疇論來取代集合論的數學基礎地位不過基本上現代數學集合論還是王道康托的基數和等勢概念還引發出連續統假設連續統假設和數學分析、拓樸學、測度論有些關聯最後數學家Paul Cohen用力迫法證明連續統假設不能在ZFC下被證明加上哥德爾的結果連續統假設不能在ZFC下被證否所以連續統假設獨立於ZFC Paul Cohen最後獲得費爾茲數學獎有趣的是連續統假設還是很有爭議的問題有些數學家還熱衷研究這個除了數學家外集合論、數理邏輯這股風氣很早就吹到了哲學界基本上你在哲學系看到讀分析哲學的學生唸集合論、模型論、可計算理論不是一件奇怪的事情。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 118.169.233.230 ※ 編輯: Hseuler 來自: 118.169.233.230 (05/30 16:14)

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flamesky

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flamesky

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