Re: [問題] 很簡單的機率問題但是不會寫...
※ 引述《sandows (仙道群)》之銘言：
: ※ 引述《yhliu.bbs@bbs.wretch.cc (老怪物)》之銘言：
: : S_n = S_0(1+.01)^X (1-.01)^{n-X}
: : X～binomial(n,p), 此例 n=1000, p=1/2
: : 故
: : ln(S_n) = ln(S_0) + X*ln(1+.01) +(n-X)*ln(1-.01)
: : 所求為
: : P[X*ln(1+.01) +(n-X)*ln(1-.01) ≧ 0]
: : 用常態近似做實際計算.
: 又如果是算期望值的話
: Σ 1000 * [nCx (0.5)^n * (1.01)^x * (0.99)^(n-x)]
: = 1000 Σ [nCx (1.01/2)^x * (0.99/2)^(n-x)]
: = 1000
: 這樣對嗎？
: 還滿神奇的，如果p不是0.5的話就沒辦法這樣算了
先前我頭腦不清楚, 弄錯了意思.
令 S_n = S_0(1+u)^X(1-d)^{n-X}
X～binomial(n,p)
則
E[S_n] = Σ S_0 C(n,k) (1+u)^k p^k (1-d)^{n-k} (1-p)^{n-k}
= S_0 ΣC(n,k) a^k b^{n-k} a=(1+u)p, b=(1-d)(1-p)
= S_0 (a+b)^n
有意思且簡單的結果, 不是嗎?
a+b = 1+ 單期期望報酬率 = E[S_1/S_0]
故
E[S_n/S_0] = (E[S_1/S_0])^n
考慮連續期間 (n→∞), 原二項定價模型變成幾何布朗運
動模型.
幾何布朗運動 {X_t, t in R}, 即: {ln(X_t), t in R}
是布朗運動. 則
X_t～lognormal(tμ,tσ^2). 故
E[X_t] = e^{μt+σ^2 t/2} = (e^{μ+σ^2/2})^t
或
E[S_t/S_0] = e^{t‧E[S_1/S_0]}
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