Re: [問題] 求分配
※ 引述《cyshen.bbs@ptt.cc (喔喔喔)》之銘言：
> 有幾個求分配的題目想請教一下
> 1.Suppose that f(x,y)=1 for 0<x<1, 0<y<1 and =0 otherwise. Obtain f(x│X<Y).
> f(x│X<Y) = f(x,x<y)/f(x<y)
> 請問f(x,x<y)該怎麼求呢?
P[X≦x|X<Y] = P[X≦x, X<Y]/P[X<Y]
1
= 2∫ min{x,y} dy
0
> 3.Let X1,...,Xn be independent random variables, each with the exponential
> distribution:P(X>=x)=e^(-αx), x>=0. Put X(n)=max{X1,...Xn}. and
> bn=α^(-1)logn. What is the limiting distribution of X(n)-bn?
> 令Yn = max{X1-bn,...,Xn-bn}
> Yn的cdf => F(y) = P(Yn=<y) = P[(X1-bn)=<y,...,(Xn-bn)=<y]
> = [Fx(y+bn)]^n = {1-e^[-α(y+bn)]}^n
> = {1-e^[-α(y+α^(-1)logn)]}^n
= (1-e^{-αy}/n)^n
-αy
-e
→ e
The limiting distribution of Yn as n→∞ is
H(y) = exp{-exp(-αy)}, -∞<y<∞
其 p.d.f. 為
h(y) = α e^{-αy} e^{-e^{-αy}}, -∞<y<∞
> 4.Let the i.i.d. sequence{Xi} with pdf f(x)=2x^(-3), 1=<x<∞, Could we find
> _
> the probability limit of X?
E[X1] = 2, Var[X1] 不存在.
由 LLN, the sample mean converges to E[X1]=2 a.s.
但 i.i.d. case 的 CLT 不適用. 事實上可證明:
若 Xi, i=1,...,n,... 是 i.i.d. 而 μ=E[X1] 存在,
_
則 √n(X - E[X1]) 有極限分布 <==> Var[X1]<∞.
(Ref.: Durrett, Probability: Theory and Examples,
2nd ed., Exercise 4.3.)
不過, 本例仍有可能經適當標準化而有極限分布. 參考
Durrett 前引書 Example 4.8 及其 Rematk.
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海
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