Re: [問題] 求分配
※ 引述《cyshen.bbs@ptt.cc (喔喔喔)》之銘言：
> ※ 引述《yhliu.bbs@bbs.wretch.cc (老怪物)》之銘言：
> : ※ 引述《cyshen.bbs@ptt.cc (喔喔喔)》之銘言：
> : > 有幾個求分配的題目想請教一下
> : > 1.Suppose that f(x,y)=1 for 0<x<1, 0<y<1 and =0 otherwise. Obtain f(x│X<Y).
> : > f(x│X<Y) = f(x,x<y)/f(x<y)
> : > 請問f(x,x<y)該怎麼求呢?
> : 沒有這種符號!
> F(x│X<Y) = P(X=<x│X<Y) = P(X=<x)/P(X<y)
> 又fx(x)=1, 0<x<1
> => P(X=<x)/P(X<y) = x/y
> =>F(x│X<Y) = x/y
> dF/dx = 1/y
> =>f(x│X<Y) = 1/y, 0<x<y
> 嗯~這樣算應該就正確了?^^"
顯然錯誤!
哪來的 "y"?
> : > 2.Let X and Y be independent and distributed as N(μ,1) and as N(0,μ),
> : > respectively, where μ>0. Derive the asymptotic variance of the maximum
> : > likelihood estimator of μ based on seperate sample of X and Y and combined
> : > sample (X1,...Xn , Y1,...,Yn).
> : > seperate sample of X: _
> : > maximum likelihood estimator of μ = X
> : "μ>0"!
> : 事實上, 題目有 bug! "μ>0" 的 MLE 不一定存在, 應修
> : 正為 "μ≧0".
> : > _
> : > Var(X) = σ^2/n
> : > 我不懂為什麼題目要加上一個asymptotic
> : > 和直接問variance of maximum likelihood estimator of μ有什麼不同?
> : 只怕正確的 variance 沒那麼容易!?
> 這我還是不懂
> X->N(μ,1)
> fx(x) = (2π)(-1/2)exp{-(x-μ)^2}
> L(μ) = (2π)(-n/2)+exp{(1/2)[-(x-μ)^2]}
> lnL(μ) = (-n/2)ln(2π)-(1/2)Σ(x-μ)^2
> dlnL(μ)/dμ = Σ(x-μ) = 0
> Λ _
> => μ = X
> _
> 所以X不就是MLE嗎?
> 我也不懂為什麼一定要μ≧0呢?
> 煩請指教~<(_ _)>
套一句家師說的話: 觀念不清!
The MLE of μ based on X's data is
_ _
μ^ = X if X>0
= 0 otherwise
所謂 MLE 是在參數空間內找一點使 likelihood 最大.
參數空間有限制, MLE 焉能與無限制時相同?
至於此 MLE 之 variance, 是可算, 應可用標準常態之分
布函數表示. 但 based on both X's and Y's 的 MLE 及
其 variance 是否容易算我不清楚. 無論如何, 題目要求
計算 asymptotic variance, 是因其 variance 並不是一
個簡單式子.
> : > 3.Let X1,...,Xn be independent random variables, each with the exponential
> : > distribution:P(X>=x)=e^(-αx), x>=0. Put X(n)=max{X1,...Xn}. and
> : > bn=α^(-1)logn. What is the limiting distribution of X(n)-bn?
> : > 令Yn = max{X1-bn,...,Xn-bn}
> : > Yn的cdf => F(y) = P(Yn=<y) = P[(X1-bn)=<y,...,(Xn-bn)=<y]
> : > = [Fx(y+bn)]^n = {1-e^[-α(y+bn)]}^n
> : > = {1-e^[-α(y+α^(-1)logn)]}^n
> ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
= (1 - e^{-αy}/n)^n
> 這我真的左看又看
> 完全看不出來是什麼分配...
> : > 當n->∞,...我就卡住了,看不出來極限分配是什麼...?
> : 再用心想想!
> : > 4.Let the i.i.d. sequence{Xi} with pdf f(x)=2x^(-3), 1=<x<∞, Could we find
> : > _
> : > the probability limit of X?
不管 "the probability limit of ... " 是指統計量之
limit in probability sense 或指其相關聯之 asymptotic
distribution, 只不過是 LLN 或 CLT 之應用.
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海
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