Re: [問題] 數學系

看板SENIORHIGH作者Mmoonshine (魔幻月光)時間17年前 (2007/07/19 02:41)推噓5(5推 0噓 2→)

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通常被數學系所訓練出來的學生被問到什麼是微分方程時...通常會給出類似下方的答案... 我之前也聽過許多其他人講過類似下面的講法... 姑且先不討論 "是不是每個數學系的學生都應該用這個觀點去看微分方程?" 但...從我的觀點來看...下面對微方的看法...很容易失去微方原有的本質什麼是一個微分方程...最簡單最容易遇到的就是 F = ma 或許你心中已經有答案了..."微分方成就是用來描述生活的現況" 但你確定你每次作實驗都能作出完美的等號嗎XDDDD 或者應該更精確的說..."方程" 是用來逼近 "生活" 脫離生活而研究的方程有一些會變成符號遊戲... 或許有很多數學系的人對這方面會有興趣不過我也是數學系畢業的...但我對這方面的方程就不太會有興趣... 反正人各有志...也不需要強求別人用自己的觀點吧下面的文中提到:解的存在性問題或許...對數學系而言這是重要的問題... 不過反正...解的出來就算存在了... 那對於不善邏輯推理與數學分析的工學院或是物理系... 是不是就不用研究方程了呢?? 當然不是...他們都 "用實驗解方程" 的設定好邊界條件和初始條件...放下去... 大自然...很自然的會給你解在他們的世界裡...沒有所謂存不存在的問題因為model equation如果出現不存在的話...通常都是你的model錯了... ( 另一個可能是，數學語言還不夠用來描述解， e.g. delta function) 如果是model錯了...也就是你的方程無法逼近現實生活... 這時候他們就不會在去研究那道方程式了... 他們會修改方程或是從新modeling 雖然我沒有h大優秀...但我也是數學系出生的學生... 我無意挑戰...也沒能力挑戰h大...(畢竟他說的很多東西我也不太董) 我只想提出一些不同的觀點與想法...讓這邊的高中生們有不同的視野曾經有段歷史是這樣的... 當數學家們還在為了delta function到底是不是函數而爭論不休時物理學家早已用...在某點上的質量有某kg... 類似的概念早已在物理界用超過百年... 當然數學也不是全部都沒有好處... 數學好的話可以快速的對解定性或定量的分析出來 ( 作實驗的成本覺對遠大於用數學分析...如果你可以先用數學把解分析出來那你將省下很多作實驗所花的的時間與成本 ) 如果分析出來解不存在的話...還可以很快的修正model 只是我覺得...嚴謹的數學和直觀的想法應該是相輔相成而不是偏重哪一個...或是站在某一邊攻擊另一邊這樣都不太好最後跟大家分享一部我最喜歡的連續劇 "名揚四海" 在劇中的這段對話，曾經一度修改了許多我的個性和想法「你知道什麼是看不起嗎？想用自己的表準硬套在別人身上就是看不起！」這是據中男主角之一(陳峰)在參加國際鋼琴大賽前說過的話... 艇發人深省的... ※ 引述《herstein (加油～一起加油吧！)》之銘言： : 標題：微分方程與微分算子 : 本篇作於pttMath版 : 目的：希望提供一些學生微分方程方面的看法。 : 本文： : 在此我想回答一些網友(非數學專業的)關於微分算子與微分方程的一些概念。 : 微分方程的問題開始主要是來自於自然哲學(物理學)，不管是常微分方程，或是偏 : 微分方程。 : 假設x(t)表直點的位置與時間的關係，令v(t)表速度與位置的關係，那麼 : x'(t)=v(t) : x(0)=p : 描述了此物體的運動現象，而這是最簡單的微分方程。隨著各類科學的發展，微分 : 方程的內容也變得更多樣性了。從簡單的一次線性微分方程，發展到了高階非線性 : 微分方程，通常我們可以用以下的微分方程來描述所有的微分方程： : x'(t) =f(t,x) : x(0)=p : (x可以是向量值，可以是純量)。而f是一個實質或向量值的函數。 : 我們必須思考，這樣的問題是否真的可以解？如果解本身是不存在的，那麼何 : 來去解他呢？但，事實上，在微分方程的歷史中，剛開始數學家都是一股腦兒的用 : 很多特殊的技巧去解方程，而非先證明解的存在性。然而，能夠用一些初等技巧解 : 決的方程是少之又少。於是，數學家陷入了瓶頸。 : 在方程的歷史中，有一樣驚人的的創作，是出自於富利葉之手的，利用三角級 : 數解決熱傳導的問題。當然，在那之前，數學家也思考用解析(冪級數)的方式去解 : 微分方程的問題。只是，這樣做以現今數學來看，是相當不嚴謹的。然而，我們也 : 不得不佩服前人的智慧。另外一個著名的作品就是出自於Volterra之手，就是他利 : 用方程的方法去研究生物生態學，(是他的一位好友讓他去研究義大利附近的海域魚 : 群的生態)。接下來，微分方程漸漸地以一種專門的研究出現在數學的領域中。在那 : 之前，數學家並不會專門的去研究方程，而是在致力於解決某一類的問題，如來自 : 物理學的，來自於化學的，或是來自於幾何學等等的。 : 後來，Fredeholm研究積分方程，並且提供了線性代數的方法解決積分方程的問 : 題。而這也讓微分方程有了另外一種新的觀點(似乎並不是新的觀點)去看待。當然 : 在那同時期，恰巧是量子物理學正大肆橫掃古典物理的革命時期。積分方程，微分方 : 程，到了Hilbert的手中，漸漸的融合成現今的泛函分析的起源。而解決微分方程， : 就用了線性代數的觀點，就是算子的概念。回到我們之前的問題。 : x'(t) = v(t) : x(0)=p : 首先我們必須考慮的是：我們想研究的函數x(t)是屬於麼樣的函數？連續？可微？時 : 間的區間？解是否存在？如果我們把微分的過程視為由一個空間至另外一個空間的映 : 射，那麼這樣的空間是屬於哪樣的空間呢？所有的可微分函數？連續的可微分函數？ : 我們當然可以很簡單的說: : D^(-1){v} : 是微分算子D的preimage，但是，那必須在一個前提之下，D所定義的空間被決定。當 : 然D所定義的空間仰賴於我們所希望研究的空間。(註:利用泛函分析的方法並不是唯 : 一研究方程的方法，而是他提供了一套有系統的研究方法)。因為，並不是任何的空 : 間對我們來說都是有意義的。這也是為何會利用到Hilbert空間，或是Banach空間的 : 理由。因為在量子物理中，粒子所存在的空間就是Hilbert空間L^2(R)，或是L^2[a,b]。 : 而微分算子所定義的空間就是所謂的Sobolev空間。D的意義就給的更清楚了。 : 然而在解方程的過程中，如給定a,b,c是連續函數 : a(x)y"(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x) : y(0)=0, y'(0)=1. : 那麼微分算子(泛函分析)並不是一個簡單的方式去解決這樣的問題，而且是更加 : 的複雜。(對某些問題來說)，而一般工程數學上所謂的D指的並不是微分算子，是所 : 謂的符號數學(Symbolic math)。利用某些觀念，或是符號可以幫助我們去解決問題， : 就如同前面有網友說的heaviside function或是Dirac function。其實在數學裡面， : 他的背景就是Distribution theory。而這正是Schwarz拿fields medal的得意之作。 : 他們並不是不嚴謹，而是他們的背景並不是很容易，如果避掉了這些理論，用符號運 : 算去解決方程，的確是一個方便的工具。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 211.74.11.83

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adudu

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※ 編輯: Mmoonshine 來自: 211.74.11.83 (07/19 04:02)

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annunaki

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