Re: [問題] 數學系
標題:微分方程與微分算子
本篇作於pttMath版
目的:希望提供一些學生微分方程方面的看法。
本文:
在此我想回答一些網友(非數學專業的)關於微分算子與微分方程的一些概念。
微分方程的問題開始主要是來自於自然哲學(物理學),不管是常微分方程,或是偏
微分方程。
假設x(t)表直點的位置與時間的關係,令v(t)表速度與位置的關係,那麼
x'(t)=v(t)
x(0)=p
描述了此物體的運動現象,而這是最簡單的微分方程。隨著各類科學的發展,微分
方程的內容也變得更多樣性了。從簡單的一次線性微分方程,發展到了高階非線性
微分方程,通常我們可以用以下的微分方程來描述所有的微分方程:
x'(t) =f(t,x)
x(0)=p
(x可以是向量值,可以是純量)。而f是一個實質或向量值的函數。
我們必須思考,這樣的問題是否真的可以解?如果解本身是不存在的,那麼何
來去解他呢?但,事實上,在微分方程的歷史中,剛開始數學家都是一股腦兒的用
很多特殊的技巧去解方程,而非先證明解的存在性。然而,能夠用一些初等技巧解
決的方程是少之又少。於是,數學家陷入了瓶頸。
在方程的歷史中,有一樣驚人的的創作,是出自於富利葉之手的,利用三角級
數解決熱傳導的問題。當然,在那之前,數學家也思考用解析(冪級數)的方式去解
微分方程的問題。只是,這樣做以現今數學來看,是相當不嚴謹的。然而,我們也
不得不佩服前人的智慧。另外一個著名的作品就是出自於Volterra之手,就是他利
用方程的方法去研究生物生態學,(是他的一位好友讓他去研究義大利附近的海域魚
群的生態)。接下來,微分方程漸漸地以一種專門的研究出現在數學的領域中。在那
之前,數學家並不會專門的去研究方程,而是在致力於解決某一類的問題,如來自
物理學的,來自於化學的,或是來自於幾何學等等的。
後來,Fredeholm研究積分方程,並且提供了線性代數的方法解決積分方程的問
題。而這也讓微分方程有了另外一種新的觀點(似乎並不是新的觀點)去看待。當然
在那同時期,恰巧是量子物理學正大肆橫掃古典物理的革命時期。積分方程,微分方
程,到了Hilbert的手中,漸漸的融合成現今的泛函分析的起源。而解決微分方程,
就用了線性代數的觀點,就是算子的概念。回到我們之前的問題。
x'(t) = v(t)
x(0)=p
首先我們必須考慮的是:我們想研究的函數x(t)是屬於麼樣的函數?連續?可微?時
間的區間?解是否存在?如果我們把微分的過程視為由一個空間至另外一個空間的映
射,那麼這樣的空間是屬於哪樣的空間呢?所有的可微分函數?連續的可微分函數?
我們當然可以很簡單的說:
D^(-1){v}
是微分算子D的preimage,但是,那必須在一個前提之下,D所定義的空間被決定。當
然D所定義的空間仰賴於我們所希望研究的空間。(註:利用泛函分析的方法並不是唯
一研究方程的方法,而是他提供了一套有系統的研究方法)。因為,並不是任何的空
間對我們來說都是有意義的。這也是為何會利用到Hilbert空間,或是Banach空間的
理由。因為在量子物理中,粒子所存在的空間就是Hilbert空間L^2(R),或是L^2[a,b]。
而微分算子所定義的空間就是所謂的Sobolev空間。D的意義就給的更清楚了。
然而在解方程的過程中,如給定a,b,c是連續函數
a(x)y"(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x)
y(0)=0, y'(0)=1.
那麼微分算子(泛函分析)並不是一個簡單的方式去解決這樣的問題,而且是更加
的複雜。(對某些問題來說),而一般工程數學上所謂的D指的並不是微分算子,是所
謂的符號數學(Symbolic math)。利用某些觀念,或是符號可以幫助我們去解決問題,
就如同前面有網友說的heaviside function或是Dirac function。其實在數學裡面,
他的背景就是Distribution theory。而這正是Schwarz拿fields medal的得意之作。
他們並不是不嚴謹,而是他們的背景並不是很容易,如果避掉了這些理論,用符號運
算去解決方程,的確是一個方便的工具。
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