Re: [請益] 有點像是數學問題
※ 引述《Beachboy (天煞孤星)》之銘言：
: 有一題2009奧林匹亞的題目。
: 其中用到一個關於橢圓形的性質。
: 我畫了圖：
: http://www.wretch.cc/album/show.php?i=beachboy417&b=14&f=1137983381&p=74
: 就是說，
: 在橢圓軌道上任意位置，和二焦點的連線，然後取角平分線。
: 這個角平分線，會和該點的切線(虛線)垂直嗎？
: 橢圓有這樣的性質嗎？
: 可否證明XD(不奢求)
這個其實就是橢圓的光學性質
由其中一個焦點發出的光線經橢圓反射後會聚焦在另一個焦點
醫院裡的體外震波碎石就是用這個原理把機器發出的震波聚焦在體內結石的位置上
證明很簡單，可以參考上一篇的方法
或是直接用橢圓的標準式爆破其實也不會說很難算
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
2x/a^2 + 2y/b^2 dy/dx = 0
=> dy/dx = - (xb^2)/(ya^2)
故點 P(acosθ,bsinθ) 的法向量為 n = ( cosθ/a , sinθ/b )
而 C1(-√(a^2-b^2), 0 ) 到 P 的向量 v1 = (acosθ+√(a^2-b^2),bsinθ)
C2(√(a^2-b^2), 0 ) 到 P 向量 v2 = (acosθ-√(a^2-b^2),bsinθ)
可得 v1 dot n / |v1||n| = v2 dot n /|v2||n| = 1/(a|n|)
故v1與n的夾角與v2與n的夾角相同
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