Re: [問題] 微積分考古題93
※ 引述《jackwei (吐司)》之銘言：
: 當中一題
: 4x dt
: 求 lim x ∫ --------------- =?
: x->∞ 2x (t^6+100)^(1/3)
: 我用計算機按出來是1/4 - -a
: 有沒有高手願意提供解法的orz
除了L'Hospital's Rule, Subsitution法
其實二項式定理也可以作
n n n
我們知道 (a+b)^n = C a^n + C a^(n-1) * b + C a^(n-2) * b^2 + ....
0 1 2
(t^6+100)^(-1/3) = (t^6)^(-1/3) + (-1/3)*(t^6)^(-4/3)*100 + ...
= t^(-2) - (100/3)*t^(-8)
積分後, ∫(t^6+100)^(-1/3) dt = -1/t + (100/21)*t^(-7) + ...
帶入4x,2x的range
-1/(4x) + (100/21)*(4x)^(-7) + 1/(2x) - (100/21)*(2x)^(-7) + ...
= 1/(4x) - (100/21)*(4x)^(-7) + ...
整合起來, 外面又有乘以x
所以就是在求 1/4 - (100/21)*(4x)^(-6) + ... 當x逼近無窮大的極限
答案明顯的就是 1/4
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僅供參考
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◆ From: 140.112.240.231
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11/21 21:59, , 1F
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11/22 00:09, , 2F
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