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[ Math ]
討論串[代數] 一題競賽
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原題:. 設a為實數,若在閉區間[0,2002]存在整數b使得. 方程式x^2+ax+b=0和x^2+ax+b+1=0有整數根,. 試問這樣的a有多少個?. 注意:只說"有"整數根,沒有說"全部"都是整數根. 例如:. 取 a=-13/2,b=9. x^2+ax+b=(x-2)(x-9/2). x^
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易知兩式的兩根都是整數根, 所以 a, b 都是整數. 且兩式的判別式 a^2-4b 和 a^2-4(b+1) 都是完全平方數. 兩個完全平方數差四的狀況只有 0 跟 4, 即前者為 4 後者為 0. 也就是一定有 a^2 = 4(b+1). 又 a 是整數, 所以 b+1 還是完全平方數. 在 [
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先畫圖。. 顯然 x^2 + ax + b = 0 和 x^2 + ax + b + 1 = 0 只是上下平移了1單位. 設 x^2 + ax + b 兩根為 s, r, 其中 s 是整數. b = sr 表示 r 也要是整數。. 在以 x^2 開頭的拋物線上. 如果 y 平移 1 單位，那 x 平
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講穿了就是要存在整數x,y, 和整數a in [0,2002]. 使得 x^2+ax = y^2+ay+1. => (x-y)(x+y+a) = 1. (1) x>y, 則 x-y=1, x+y=1-a. => x = (2-a)/2, y=-a/2. (2) x<y, 則 x-y=-1, x+y=
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