Re: [代數] 一題競賽
: A-8題 請各位神人幫忙
原題:
設a為實數,若在閉區間[0,2002]存在整數b使得
方程式x^2+ax+b=0和x^2+ax+b+1=0有整數根,
試問這樣的a有多少個?
注意:只說"有"整數根,沒有說"全部"都是整數根
例如:
取 a=-13/2,b=9
x^2+ax+b=(x-2)(x-9/2)
x^2+ax+b+1=(x-4)(x-5/2)
符合原題
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令m為x^2+ax+b=0的一個整數根
n為x^2+ax+b+1=0的一個整數根
所以
m^2+am+b=0---------(1)
n^2+an+b+1=0-------(2)
(顯然m不等於n)
(1)*n-(2)*m 得 n(m^2)+bn-m(n^2)-bm-m=0
nm(m-n)+b(n-m)-m=0
所以得到m-n|m--------(3)
因為m-n|(-(m-n)),所以m-n|(-(m-n)+m), m-n|n--------(4)
令d=(m,n), m=ds,n=dt (s,t為整數)
(3),(4)可知 m-n|d,所以 d(s-t)|d, (s-t)|1
所以s-t=-1 或 s-t=1
帶回整理:
得到充分必要條件:(d為正整數,s為整數)
(A): m=ds,n=ds+d,b=(d^2)s(s+1)+s,a=((d^2)(2s+1)+1)/(-d)
或
(B): m=ds,n=ds-d,b=(d^2)s(s-1)-s,a=((d^2)(2s-1)-1)/(-d)
(B)中的s換成-u
得到m=d(-u),n=d(-u)-d,b=(d^2)(-u)(-u-1)-(-u),a=((d^2)(2(-u)-1)-1)/(-d)
m=-du,n=-du-d,b=(d^2)u(u+1)+u,a=((d^2)(2u+1)+1)/d
因為要求b是[0,2002]中的整數
仔細檢查帶入
(A):
0≦(d^2)s(s+1)+s≦2002
特別取 s=0時,d為任意正整數,此時a=(d^2+1)/(-d)=-(d+1/d)
(B):
0≦(d^2)u(u+1)+u≦2002
特別取 u=0時,d為任意正整數,此時a=(d^2+1)/d=d+1/d
所以無限多組解!
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02/24 22:08, , 1F
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