Re: [機統] 一個機率悖論問題
※ 引述《kirimaru73 (霧丸)》之銘言：
: 假設在這個宇宙中有一個恐怖的獨裁者
: 有一天他說：I wanna play a game ......
: 這個遊戲會進行許多輪，在第X輪中他會隨機抓10^(X-1)個人類來強迫參加
: 也就是第一輪1人，第二輪10人，第三輪100人，以此類推
: 這些人類會被集合再一起，並隨機挑出一位代表
: 由這位代表投擲一枚十面骰(0-9)
: 骰出0則大失敗，殺死該輪所有人類並且遊戲結束
: 骰出1-9則成功，該輪所有參與者得到100萬元精神賠償金，並繼續下一輪
: 你並沒有參加這場遊戲，有一天你的朋友跑來告訴你他從遊戲中生還
: (這是此悖論的重要前提，可能是解題的關鍵)
: 你算了一下：Ｘ的，這是什麼瘋子遊戲，你竟然能活著回來
: 如果遊戲結束時為第X輪，那總共會有111...1(X個1)名參與者
: 其中100...0名會在最後一輪化為華麗的煙火，只有11...1(X-1個1)名倖存
: 你的朋友生還機率約為10%(略小一點)
看起來是估計「生還機率約為10%」有點玄機？
假設我們把這宇宙中的人類都打上一個正整數的編號，
然後恐怖的獨裁者依著編號找人
定義以下的隨機變數
X_i = 1 , 編號第i位人類沒有死亡
0 , 編號第i位人類死亡
R = 這遊戲進行了幾輪
有了以上兩個而每一次遊戲總共參與遊戲的人數是 (10^R-1)/9
每一次遊戲存活的人數是 (10^(R-1)-1)/9
所以每一次遊戲 存活人數/餐與人數 的比例是 Z = (10^(R-1)-1)/(10^R-1)
E[Z] 看起來差不多是 10% (實際上差不多是 8.9%)
而用E[Z] 估計 E[X_i] ，悖論就出現了
那為什麼會用 E[Z] 估計 E[X_i]呢？
我們定義隨機變數 M 為每一次遊戲總共參與的人數，也就是 M= (10^R-1)/9
M
因為 Z = Σ X_i / M
i=1
如果今天 M 不是個隨機變數而是個常數 m
m m
E[ Σ X_i / m] = Σ E[X_i]/m 就是個相當常見估計
i=1 i=1
但現在不一樣的是分母那個參與遊戲的人數 M 是個隨機變數
(而且X_i們也不是i.i.d.)
這種情況下我們是不是就不能用 E[Z] 去估計 E[X_i] 了？
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我想表達的是：通常不是 i.i.d. 的話，"sample mean" 這個可能就不是很適用
而且這邊 sample mean 的分母還不是固定的，
而是一個會受到Stopping Time R 干涉的隨機變數，
換句話說用這段
: 如果遊戲結束時為第X輪，那總共會有111...1(X個1)名參與者
: 其中100...0名會在最後一輪化為華麗的煙火，只有11...1(X-1個1)名倖存
來估計單一參賽者的存活率可能從理論上就是不適用的
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就是因為分母不是定值，所以我才對於一開始 10% 那個估計提出質疑啊
比如我們估計一個六面骰骰出"1"的機率，然後進行實驗
「骰 n 次，然後計算出現 1 的次數」
然後n夠大的話我們就覺得這是「六面骰骰出1的機率」的良好估計
但支撐這想法的是 大數法則(Law of Large Number)
可同樣根據在原文章
: 如果遊戲結束時為第X輪，那總共會有111...1(X個1)名參與者
: 其中100...0名會在最後一輪化為華麗的煙火，只有11...1(X-1個1)名倖存
成立嗎？
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※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 01/10/2023 01:29:59
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