Re: [機統] 一個機率悖論問題
經過了幾輪的腦內大屠殺後，我有些結論了
這應該是個計算方法不適當的「假證明」類型
要解決一個比較複雜的問題，一種常用的方法是把它簡化成小學生難度
假設有一名恐怖的獨裁者Jr，他想要進行這個傳說中的遊戲
不過因為實力和財力都有限，所以他的遊戲內容只有這樣：
1. 先抓一個人，10%殺且遊戲結束，90%發獎釋放且進行下一輪
2. 再抓10個人，10%全殺且遊戲結束，90%發獎釋放且......沒經費了，遊戲結束
每個人被抓到的時候，他們都會覺得自己的生存率是90%
根據這個想法，會覺得「樣本生存率的期望值」就是90%
然後從整場遊戲來看，10%機率死一個人，9%機率死十個人，81%機率全員生還
按照原故是敘述中的「你」的計算方法，會得到遊戲生存率的期望值為
10% x 0/1 + 9% x 1/11 + 81% x 11/11 ≒ 81.8181..%
然後就會奇怪為什麼兩者不一致
不過上述「樣本生存率」和「遊戲生存率」的期望值計算方法都是不合理的
第一個人死亡的10%可能性中，後面十個人安然無事
必須算做總共還是有11個人參與遊戲，並且10人生還，才能夠跟其他的狀況平均
整場遊戲仍然是「10%機率死一個人，9%機率死十個人，81%機率全員生還」
但第一個人的生存率是90%，後面十個人則是91%
因為只要第一個人爆了，他們就算是活下來了
因此樣本生存率期望值為(90% + 91% x 10) = 10/11
遊戲生存率期望值則是10% x 10/11 + 9% x 1/11 + 81% x 11/11 = 10/11，兩者一致
回到原本的題目來看，雖然可能進行很多輪，但趨勢仍然一樣
第一輪就被挑中的人生存率是90%，第二輪是91%，第三輪是91.9%
不管哪個樣本都有90%以上的生存率，期望值一定超過90%
而在遊戲生存率的部分，按照「大家都算有玩」的觀點，也是明顯高過90%的
就算真的把地球上的人都拿去玩(為了湊整數，假設地球上剛好有11億1111萬1111人)
也要剛好在第10輪爆掉才會讓生存率低於90%
其他狀況的生存率都是90%以上，有些甚至超過99%或無限接近100%
值得一提的是，我並沒有做出以下的假設：
「獨裁者抓不到下一輪時會惱羞成怒，無視90%機率強行殺死最後一批人」
雖然獨裁者的心思無法捉摸，但這種假設會破壞樣本生存率90%的概念
(最後一批人不管怎樣都會死，人數又多，期望值直接大爆炸)
在假設獨裁者絕對遵守擲骰子90%生存的前提下，遊戲的生存率原本就是超過90%的
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.240.129.77 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1673341727.A.C35.html
推
01/10 21:05,
1年前
, 1F
01/10 21:05, 1F
→
01/10 21:05,
1年前
, 2F
01/10 21:05, 2F
討論串 (同標題文章)