Re: [機統] 一個機率概念上的問題

看板Math作者arrenwu (不是綿芽的錯)時間1年前 (2022/11/05 18:42)推噓6(6推 0噓 4→)

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※ 引述《cornerstone (cornerstone)》之銘言： : 在看機率中關於隨機變數獨立的部分看到： : 若隨機變數A和B獨立，他們的平方也會相互獨立 : 我突然很好奇為什麼能直接這樣說呢？ : 假設A為擲兩次骰子，出現6的次數。 : 這樣的話，A就可能是0, 1, 2，對應的機率是： : P(A=0) = 25/36 : P(A=1) = 10/36 : P(A=2) = 1/36 : 假設B為丟兩次銅板，出現人頭的次數， : 這樣B就可能是0, 1, 2 : P(B=0) = 1/4 : P(B=1) = 1/2 : P(B=2) = 1/4 : 直覺來看，A和B根本不相關，所以他們相互獨立， : 從數學觀點也可以從條件機率的角度看， : P(A=0)的機率和在P(B=0)的前提下，是一樣的 : P(A=0| B=0) = P(A=0) : 但請問平方的話要怎麼想？ : A平方會變成: 0, 1, 4 : B平方也會變成: 0, 1, 4 : 但對應的機率要怎麼算呢？ : 雖然直覺也認同覺得既然A和B獨立，平方應該也自然就獨立， : 可是很想了解要怎麼想才能從數學或是比較嚴謹的角度來理解： : 為什麼隨機變數A和B獨立，A平方和B平方也會獨立？獨立隨機變數獨立變數 X,Y 對於任意兩集合 A,B，都成立 P( X in A Λ Y in B) = P( X in A ) P( Y in B) 你的問題其實是在問，如果 X,Y 獨立，我們要怎麼說明對於任意兩函數f,g和任意兩事件 C,D 都會成立 P( f(X) in C Λ g(Y) in D) = P( f(X) in C ) P( g(Y) in D )？ [你的案例就是 f(x) = g(x) = x^2] 綠色那行獨立性質好懂、很直覺，黃色那行則看起來也非常直覺，但直接說是對的好像怪怪的(? 這兩者之間，我們需要的就是一個小定理定義 inv(f,C) 為集合 {x | f(x) in C } f(X) in C <=> X in inv(f, C) 然後我們就可以改寫 P( f(X) in C Λ g(Y) in D) P( f(X) in C Λ g(Y) in D) = P(X in inv(f,C) Λ Y in inv(g,D)) = P(X in inv(f,C)) P(Y in inv(g,D)) = P(f(X) in C) P(g(Y) in D) -- 令人心跳加速的購物旅程 https://i.imgur.com/zre1bf4.jpg