[分析] 為什麼 dy/dt = dy/dx * dx/dt 並不嚴謹?

看板Math作者 (God of Computer Science)時間4年前 (2021/12/05 15:27), 編輯推噓9(9推 0噓 40→)
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如題，小弟這學期正在研讀 Rudin 這本書，Theorem 5.5 正好是初微講過的 chain rule 我深知它的證明手法大概都是層層剝開，然後每一層都是藉由 "該變數趨近於目標值所以 殘餘項趨近於零" 的這個現象來說明該層導數剛好就是那個位置的微分值，只是按照這個 說法，那我附圖 https://imgur.com/fDhSMpN
中的最後一行，也就是去模擬 dy/dt = dy/dx * dx/dt 這個寫法的這件事應該也沒錯啊，那為什麼會有人說這種看起來可以通分 的寫法是 nonsense 呢？Nonsense 指的是 dv 這種符號不可以用在這裡，還是說我附圖 最底下式子的寫法也不甚嚴謹呢？如果是，又是不嚴謹在哪呢？ 先謝謝各位先進解惑了！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.242.238.70 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1638689253.A.196.html
推
12/05 16:04, 4年前 , 1F
你這個case的問題是f(t)-f(x)可能是0
12/05 16:04, 1F
推
12/05 18:07, 4年前 , 2F
而且可能一直是0或常常是0。
12/05 18:07, 2F
→
12/05 19:47, 4年前 , 3F
原來如此！那我原本以為課本 u(t) 和 v(s) 趨近於
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12/05 19:47, 4年前 , 4F
0 就隱含不能等於 0 的假設就錯誤了呢，這樣的話課
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本記號是不是應該也要修正一下？所以除此之外還有
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12/05 19:47, 4年前 , 6F
其他理由嗎？我可能考慮替樓上兩位發錢喔！
12/05 19:47, 6F
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12/05 20:03, 4年前 , 7F
笑死
12/05 20:03, 7F
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12/05 21:00, 4年前 , 8F
我會有這樣的誤解很合理啊！一般說 x 趨近於 c 都
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12/05 21:00, 4年前 , 9F
會強調 x 不能剛好為 c，所以我會認為誤差項不能恰
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12/05 21:00, 4年前 , 10F
好是零也是理所當然的
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12/05 21:01, 4年前 , 11F
怎麼可以嘲笑認真上進的同學呢？這不是數學板應該
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12/05 21:01, 4年前 , 12F
要有的風氣吧！
12/05 21:01, 12F
推
12/05 22:49, 4年前 , 13F
你想修哪本課本的哪個記號？
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12/05 23:19, 4年前 , 14F
圖片(5)的下方有u(t)和v(s)-->0的這個記號，私以為
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12/05 23:20, 4年前 , 15F
它隱含了不能為 0 的假設，如果可以為 0，我也不知
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12/05 23:20, 4年前 , 16F
道要怎麼改會比較好。
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推
12/05 23:28, 4年前 , 17F
那邊本來就只能寫t→x。
12/05 23:28, 17F
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12/05 23:30, 4年前 , 18F
t->x 沒錯，但是u(t)->0 會讓我以為 u(t)不為0
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12/05 23:31, 4年前 , 19F
我一直覺得 -> 代表趨近於的時候不能碰到該值。
12/05 23:31, 19F
推
12/05 23:32, 4年前 , 20F
這樣就是你誤會了 "f(x)→L as x→p"其實就是
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12/05 23:33, 4年前 , 21F
lim_{x→p} f(x) = L的縮寫而已
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推
12/05 23:33, 4年前 , 22F
沒有這回事，你誤會了。
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12/05 23:33, 4年前 , 23F
f(x)是可以碰到L的, 是x不能碰到p(或是說我只規範
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12/05 23:33, 4年前 , 24F
不碰到p的case)
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12/05 23:34, 4年前 , 25F
因為愛。XD
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12/05 23:50, 4年前 , 26F
喔乾 好像是欸，f(x) 靠近 L 的過程中好像是可以在
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12/05 23:50, 4年前 , 27F
某時刻相等的，事實上 x 靠近 p 的過程中也可以某時
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12/05 23:51, 4年前 , 28F
刻相交於 p，只是會讓人覺得有點多此一舉的感覺。
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12/05 23:51, 4年前 , 29F
謝謝大大們解惑！我找時間發 P 幣給各位。
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推
12/06 00:35, 4年前 , 30F
f(x)=x^2*sin(1/x)是一種常見的範例，而常數函數f
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12/06 00:35, 4年前 , 31F
則更簡單粗暴。前者說明不是只有常數函數會出問題
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。
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12/06 00:42, 4年前 , 33F
事實上f'=0的情況完全可以當成是一個太過美麗的巧
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合。也就是把chain rule分成兩部份，f'≠0時的話就
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用分數湊項，而f'=0的時候就直接得到(g。f)'=0。但
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可以合起來寫，又何必分開呢？
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12/06 01:31, 4年前 , 37F
其實我剛剛就是有發現分成兩個 case 的這個現象才知
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道這個寫法的精妙之處！
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12/06 01:31, 4年前 , 39F
我方便再追問一下羅畢達的證明可以應用到 x 趨近於
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12/06 01:32, 4年前 , 40F
正負無窮大的情況嗎？許多課本(含 Rudin)跟wiki似乎
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12/06 01:32, 4年前 , 41F
都沒 cover 到這個 case...
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12/06 01:34, 4年前 , 42F
算了，好像可以，其實我自己可以想通的
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推
12/06 01:50, 4年前 , 43F
wiki有cover到。至於rudin我忘了，但我不覺得他會
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12/06 01:50, 4年前 , 44F
漏掉，是不是在習題呢？
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推
12/06 01:55, 4年前 , 45F
我查好了，Rudin大大沒有漏掉，課文都有寫到。
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12/06 11:11, 4年前 , 46F
我後來才發現 Rudin 這樣的配置是最好的，因為雙邊
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12/06 11:12, 4年前 , 47F
極限可以由單邊apply兩次得到，然後x跑到無窮大的這
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12/06 11:12, 4年前 , 48F
個例子也只能使用單邊極限論述，不得不說 Rudin 真
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12/06 11:12, 4年前 , 49F
的是本神書，引人入勝，讓人停不下來
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