Re: [分析] 為什麼 dy/dt = dy/dx * dx/dt 並不嚴謹?

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間2年前 (2021/12/05 21:04)推噓1(1推 0噓 4→)

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※ 引述《alan23273850 (God of Computer Science)》之銘言： : 標題: [分析] 為什麼 dy/dt = dy/dx * dx/dt 並不嚴謹? : 時間: Sun Dec 5 15:27:31 2021 : : 如題，小弟這學期正在研讀 Rudin 這本書，Theorem 5.5 正好是初微講過的 chain rule : : 我深知它的證明手法大概都是層層剝開，然後每一層都是藉由 "該變數趨近於目標值所以 : : 殘餘項趨近於零" 的這個現象來說明該層導數剛好就是那個位置的微分值，只是按照這個 : : 說法，那我附圖 https://imgur.com/fDhSMpN

中的最後一行，也就是去模擬 dy/dt = : : dy/dx * dx/dt 這個寫法的這件事應該也沒錯啊，那為什麼會有人說這種看起來可以通分 : : 的寫法是 nonsense 呢？Nonsense 指的是 dv 這種符號不可以用在這裡，還是說我附圖 chain rule在這裡被質疑的nonsense是寫成通分形式時第一項的分母可能為0, 至於你說的"dv這種符號不可以用在這裡"我就不太了解是指什麼意思通常會說"d?"怪怪的通常是在積分的變數變換中, f'(x)dx = df(x) 不過這裡原PO應該不是指這裡怪, 就當我沒提XD : : 最底下式子的寫法也不甚嚴謹呢？如果是，又是不嚴謹在哪呢？ : : 先謝謝各位先進解惑了！ : 你圖中最下面的寫法的不嚴謹處, 除了可能第一項分母可能為0之外, 還有第一項的極限符號 "lim f(t)→f(x)", 極限並沒有這個定義, 但是我想你是要表達 "當t→x時且f在x連續則f(t)→f(x)", 但即便如此, lim_{t→x} (g(f(t)) - g(f(x)))/(f(t) - f(x)) = g'(f(x)) 仍是需要證明的(先假設分母不會為0), 總之就看你對"嚴謹"的要求到哪再來就是如何處理分母可能為0的問題, 到現在我一共知道三種方式: (1) 直接討論法: 如果存在x的一個開區間使得f(t)都不等於f(x) 那藉由極限論證只要取夠小的δ那就能讓原PO的通分式是make sense的如果不存在這樣的一個開區間, 代表有無窮多個t_i靠近x, t_i!=x 使得f(t_i) = f(x) 如此一來你可以先證明f'(x)=0以及(g。f)'(x) = 0 之後你就可以說(g。f)'(x) = g'(f(x)) * f'(x) (因為不管g'(f(x))是多少, 左右都0了) P.S. 這個還有個小瑕疵是尚須"g。f在x可微" 原PO有興趣在自己解掉吧 (2) Rudin/Apostol法: 就原PO那樣定義微分函數就可以搬來搬去而且不難驗證跟平常的微分定義等價 (3) 多變數導數定義: |F(x+h) - F(x) - T(h)| < ε|h| for all 0<|h|<δ_1 <=> |F(x+h) - F(x) - T(h)| <= ε|h| for all |h|<δ_2 也是跟平常的微分定義等價不管哪一種方式其實都是要嚴格處理分母可能為0的這種trivial case 像(3)那樣定義後h就可以為0了, 而h為0實在是很無聊的trivial case... 最後借串問, 我好奇Rudin/Apostol會想到那種定義方式, 純粹就是用平常的定義方式會三不五時卡到分母為0嗎@@? 不知道歷史XDD : -- : ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.242.238.70 (臺灣) : ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1638689253.A.196.html : 推 cmrafsts : 你這個case的問題是f(t)-f(x)可能是0 12/05 16:04 : 推 Vulpix : 而且可能一直是0或常常是0。 12/05 18:07 : → alan23273850: 原來如此！那我原本以為課本 u(t) 和 v(s) 趨近於 12/05 19:47 : → alan23273850: 0 就隱含不能等於 0 的假設就錯誤了呢，這樣的話課 12/05 19:47 : → alan23273850: 本記號是不是應該也要修正一下？所以除此之外還有 12/05 19:47 : → alan23273850: 其他理由嗎？我可能考慮替樓上兩位發錢喔！ 12/05 19:47 : → TaiwanFight : 笑死 12/05 20:03 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.231.101.209 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1638709490.A.867.html

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Vulpix

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alan23273850

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