Re: [分析] 為什麼 dy/dt = dy/dx * dx/dt 並不嚴謹?

看板Math作者 (God of Computer Science)時間2年前 (2021/12/14 01:25), 2年前編輯推噓9(9推 0噓 31→)
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※ 引述《alan23273850 (God of Computer Science)》之銘言： : 如題，小弟這學期正在研讀 Rudin 這本書，Theorem 5.5 正好是初微講過的 chain rule : 我深知它的證明手法大概都是層層剝開，然後每一層都是藉由 "該變數趨近於目標值所以 : 殘餘項趨近於零" 的這個現象來說明該層導數剛好就是那個位置的微分值，只是按照這個 : 說法，那我附圖 https://imgur.com/fDhSMpN
中的最後一行，也就是去模擬 dy/dt = : dy/dx * dx/dt 這個寫法的這件事應該也沒錯啊，那為什麼會有人說這種看起來可以通分 : 的寫法是 nonsense 呢？Nonsense 指的是 dv 這種符號不可以用在這裡，還是說我附圖 : 最底下式子的寫法也不甚嚴謹呢？如果是，又是不嚴謹在哪呢？ : 先謝謝各位先進解惑了！ 我後來又多花了兩個小時看這段證明，終於更具體地抓到 Rudin 寫法的漏洞了！！！ 我把課文註解如附圖：https://imgur.com/nLnMDjN
事實上課本就是沒有好好地處理 f(t) = f(x) 的情況，(這比切線斜率 0 還要強) 它最後一行很賊地直接說整包會 tends to g'(y)f'(x)，而不是 g'(y) + v(s) tends to g'(y) 和 f'(x) + u(t) tends to f'(x)，就是因為當 f 在 x 附近有短暫水平線的時候 g'(y) + v(s) = g'(y) + v(y) 可以是任意值，但這個時候的 f'(x) + u(t) 剛好為 0， 所以結論才會對。並不是 Rudin 有考慮短暫水平線的情況，而是他沒清楚地寫出來， 要讓讀者自行腦補進去；左下角的通分法會讓 special case 顯露無遺，但 Rudin 的寫法 只是把 special case 偷偷藏起來而已，並沒有特別高尚，我的見解應該對吧？！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 115.43.121.35 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1639416352.A.8DD.html ※ 編輯: alan23273850 (115.43.121.35 臺灣), 12/14/2021 01:38:13
推
12/14 02:36, 2年前 , 1F
我有點疑惑他們多變數時怎麼寫 如果你看Courant
12/14 02:36, 1F
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12/14 02:37, 2年前 , 2F
and John的書，他們把v(0):=0來避開這種問題。
12/14 02:37, 2F
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12/14 02:38, 2年前 , 3F
我改用small o去寫，算式就變得望之令人生厭。
12/14 02:38, 3F
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12/14 06:28, 2年前 , 4F
如果有短暫f(t)=f(x)，g(f(t))也會=g(f(x))但是你的
12/14 06:28, 4F
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12/14 06:29, 2年前 , 5F
問題是(g(f(t))-g(f(x)))/(f(t)-f(x))這時就不能叫
12/14 06:29, 5F
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12/14 06:29, 2年前 , 6F
g'(f(x))，邏輯是這樣吧?
12/14 06:29, 6F
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12/14 06:41, 2年前 , 7F
可是定理又假設g在f(x)可微，所以那種狀況就算寫成
12/14 06:41, 7F
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12/14 06:41, 2年前 , 8F
g'(f(x))也不影響最後的結果0
12/14 06:41, 8F
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12/14 07:24, 2年前 , 9F
我也覺得不管Rudin是否想到，他這樣寫不夠完整
12/14 07:24, 9F
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12/14 13:51, 2年前 , 10F
回二樓，那樣應該不夠，要證明 v(s) 的值不影響結
12/14 13:51, 10F
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12/14 13:51, 2年前 , 11F
論才行
12/14 13:51, 11F
推
12/14 14:11, 2年前 , 12F
你檢查一下如果直接定義
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12/14 14:11, 2年前 , 13F
v(s)=[g(s)-g(y)-g'(y)(s-y)]/(s-y) if s=/=y
12/14 14:11, 13F
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12/14 14:11, 2年前 , 14F
v(y)=0，是不是就沒問題了
12/14 14:11, 14F
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12/14 16:41, 2年前 , 15F
樓上的作法不就跟二樓一樣嗎？
12/14 16:41, 15F
推
12/14 18:01, 2年前 , 16F
secjmy大的做法沒問題啊~不管v(y)怎麼定義 first(5)
12/14 18:01, 16F
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12/14 18:02, 2年前 , 17F
都會成立 此後的引用first(5)自然對任何v(y)的定義
12/14 18:02, 17F
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12/14 18:03, 2年前 , 18F
也會成立 那何不選一個比較方便的定義
12/14 18:03, 18F
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12/14 18:17, 2年前 , 19F
要這樣解釋也可以，我覺得討論到最後就變成事物的
12/14 18:17, 19F
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12/14 18:17, 2年前 , 20F
本質是一體兩面而已，沒有誰對誰錯
12/14 18:17, 20F
推
12/14 23:37, 2年前 , 21F
Rudin的最後一句可以這樣說: 對於任何實數r
12/14 23:37, 21F
推
12/14 23:38, 2年前 , 22F
定義v(f(x)):=r, 我們皆有lim_{t→x}v(f(t))f'(x)=0
12/14 23:38, 22F
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12/14 23:39, 2年前 , 23F
而check這件事情不難, 只是小技巧是r=0時可以省一半
12/14 23:39, 23F
推
12/14 23:40, 2年前 , 24F
的證明空間, r!=0時就需要討論聚點情形, 跟"通分式"
12/14 23:40, 24F
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12/14 23:40, 2年前 , 25F
的討論就變成一模一樣
12/14 23:40, 25F
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12/14 23:41, 2年前 , 26F
只是從以前到現在我還沒有說服自己的說法去解釋為何
12/14 23:41, 26F
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12/14 23:41, 2年前 , 27F
r=0就能省證明, 恰好? blabla
12/14 23:41, 27F
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12/14 23:56, 2年前 , 28F
所以我說 Rudin 的寫法只是把 special case 偷偷藏
12/14 23:56, 28F
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12/14 23:56, 2年前 , 29F
起來而已，並沒有特別高尚，這句話很精準吧XD
12/14 23:56, 29F
推
12/15 00:06, 2年前 , 30F
人家藏得好啊。反正不管怎樣都避不開f(t)=f(x)的討
12/15 00:06, 30F
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12/15 00:07, 2年前 , 31F
論，即使用hyperreal也一樣，所以wiki這點寫錯了。
12/15 00:07, 31F
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12/15 00:11, 2年前 , 32F
12/15 00:11, 32F
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12/15 12:15, 2年前 , 33F
想藉一步問V大，要如何給出網址 直接跳到你想貼的那
12/15 12:15, 33F
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12/15 12:16, 2年前 , 34F
個區塊，而不是從最頂開始？非常好奇這種指定段落的
12/15 12:16, 34F
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12/15 12:16, 2年前 , 35F
方式，謝謝
12/15 12:16, 35F
推
12/15 21:16, 2年前 , 36F
維基百科頁面的目錄不是裝飾用的啊
12/15 21:16, 36F
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12/15 21:16, 2年前 , 37F
那個都是可以點的連結，點下去就直接跳到該段落
12/15 21:16, 37F
推
12/15 22:17, 2年前 , 38F
我用的是edge的醒目提示。直接用連結也可以，但就沒
12/15 22:17, 38F
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12/15 22:18, 2年前 , 39F
有套色了。雖然手機好像看不到。
12/15 22:18, 39F
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12/16 20:53, 2年前 , 40F
原來竟然有這個功能，謝謝兩位
12/16 20:53, 40F
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