Re: [代數] 問一題模考的多項式

看板Math作者LimSinE (r=e^theta)時間2年前 (2021/12/03 21:15)推噓5(5推 0噓 6→)

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保留題目。偏不用整除XD 由題目可知 x^2 - x + a 之兩根 z, z'滿足 z+z'=1, zz'=a 且f(z)=f(z')=0, 其中f(x)=x^13+x+90 僅考慮z,z'非有理數的情形，此時對於Q(z)中的元素 u 均可唯一表成Az+B的形式且可定義norm N(u)=uu'=(Az+B)(Az'+B)=A^2a+AB+B^2 那麼N(z)=a, N(z^13)=N(-z-90)=a+8190 因為N(z)^13 = N(z^13)，得到關係式(必要條件) a^13 = a + 8190 容易發現a=2是唯一解XD (還需帶回驗算，很多方法) 不過這可以告訴我們一個線索如果題目要出 f(x) = x^d + x + C 或 x^d - x + C 那首先要滿足必要條件 2^d = 2 + B + B^2 的B 有解用程式找一下，d在100內只有d=1,2,3,5,13，所以可能是一個很特別的例子。 ※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言： : 今年數A的模考題，沒有原題，以下是簡述 : ============================================== : 已知 a 是整數 : 且 x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式 : 試求 a : ============================================== : 本題是單選，因此刪一刪答案就出來了 : 但我還是有幾個問題，有點抽象不好意思 : Q1. 雖然可能的 a 只有一個，其它都不可能 : 但要怎麼確定這個 a 真的是答案？ : Q2. 有沒有一個定理類似以下敘述，或是反例 : 「設整係數多項式 f, g, 會有一個正整數 N = N(f, g) 使得 : 若有 N 個相異 c 滿足 g(c) | f(c), 則 g(x) | f(x) in Q[x]」 : 由於有 2 | n(n+1) 的情況，整除只能在有理數多項式內 : Q3. 出題老師是怎麼知道，或是從哪裡知道 : x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式的？ : -- : ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 58.114.220.70 (臺灣) : ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1638370014.A.B60.html : 推 RicciCurvatu: Q1 確定 a後解出兩根帶入左式就知道了 Q3同理 12/02 00:29 : 呃兩根是 (1/2)(1+sqrt(7) i) 我不覺得代入是好方法XD -- 代數幾何觀點！ Algebro-Geometrical Aspect! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.84.233.185 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1638537321.A.E35.html

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emptie

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emptie

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LimSinE

12/03 21:37, 2年前 , 3^F

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