Re: [代數] 問一題模考的多項式
※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言：
: 今年數A的模考題，沒有原題，以下是簡述
: ==============================================
: 已知 a 是整數
: 且 x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式
: 試求 a
: ==============================================
帶 x = a 進去
得到 a^2 整除 a^13+a+90 所以 a^2| a+90
可以看出來 a 的絕對值不大
手算一下得到 a = 1, 2, -1, -2
a = 1, -1 的情況 解都是單位根
所以 x^13 + x 不可能有90這麼大
(好啦 帶幾個值就可以知道不是了)
a = -2, x^2 - x -2 = (x-2)(x+1) 但 2 不是 x^13 + x + 90 的根
所以答案就剩下 a = 2
: 本題是單選，因此刪一刪答案就出來了
: 但我還是有幾個問題，有點抽象不好意思
: Q1. 雖然可能的 a 只有一個，其它都不可能
: 但要怎麼確定這個 a 真的是答案？
可能可以想出很厲害的想法 但是這邊長除法最快
: Q2. 有沒有一個定理類似以下敘述，或是反例
: 「設整係數多項式 f, g, 會有一個正整數 N = N(f, g) 使得
: 若有 N 個相異 c 滿足 g(c) | f(c), 則 g(x) | f(x) in Q[x]」
: 由於有 2 | n(n+1) 的情況，整除只能在有理數多項式內
有，上面有人說了，把 c 弄到很大逼著餘數等於 0
不過我想說在比較特別的情況可以用 resultant
https://en.wikipedia.org/wiki/Resultant
Resultant R(f, g) 是個可以由 f, g 的係數算行列式得出來的整數
(在 f, g 都在 Z[x] 的情況),滿足：
1) R(f,g) = 0 iff f 和 g 有共同解
2) 存在多項式 A, B 使得 R(f, g) = Af + Bg
共同解又跟整除不大一樣
不過在本題情況因為 x^2-x+2 兩根共軛所以沒問題
那這樣的話, 如果 c 滿足 g(c) | f(c) 由 R(f, g) = Af + Bg 有
g(c) | R(f, g) 有夠多相異 的 c 就有夠多相異 g(c)
R(f,g) 只是一個確定的數顯然不能被無窮多個 g(c) 整除
好處是 R(f,g) 是 f, g 係數的多項式
這樣得出來的 N 應該 bound 會漂亮一點
這題如果是 N = N(deg f, deg g) 比較有意義
畢竟 f, g 都拿到了等於結論都確定了
可惜是錯的 上面說過(讓 g(x) = x)
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於千萬人中遇見你所遇見的人，於千萬年之中，
時間的無涯的荒野裡，沒有早一步，也沒有晚一步，
剛好趕上了，也沒有別的話可說，唯有輕輕的問一聲
「噢，你也在這裡嗎？」
張愛玲‧愛
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推
12/05 13:43,
2年前
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12/05 13:43, 1F
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