Re: [代數] 問一題模考的多項式
※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言：
: 今年數A的模考題，沒有原題，以下是簡述
: ==============================================
: 已知 a 是整數
: 且 x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式
: 試求 a
: ==============================================
: 本題是單選，因此刪一刪答案就出來了
: 但我還是有幾個問題，有點抽象不好意思
: Q1. 雖然可能的 a 只有一個，其它都不可能
: 但要怎麼確定這個 a 真的是答案？
長除法、沒教的二次式綜合除法、用 x^2≡x-a 降次、代入 g 的根，四個選一個。
這應該是高中有超出範圍和沒超出範圍的範圍裡能用的招數了。
: Q2. 有沒有一個定理類似以下敘述，或是反例
: 「設整係數多項式 f, g, 會有一個正整數 N = N(f, g) 使得
: 若有 N 個相異 c 滿足 g(c) | f(c), 則 g(x) | f(x) in Q[x]」
: 由於有 2 | n(n+1) 的情況，整除只能在有理數多項式內
如果要求兩多項式都 primitive 的話，整除就可以限制在 Z[x] 上了吧。
: Q3. 出題老師是怎麼知道，或是從哪裡知道
: x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式的？
經驗或者前人的經驗吧？
x^n+ax+b 這種長相的也算是比較單純的多項式了，
不知道有沒有資料庫在分類？
: g(c) | f(c) 是 in Z, 但 g(x) | f(x) 是 in Q[x]
: 或者我應該寫 存在正整數 M 使得 g(x) | M f(x) in Z[x]
: 我目前想一想 方向有兩個
: (1) 有沒有可能 g(x) 不整除 M f(x)
: 但是有無限多個 c 滿足 g(c) | f(c)
: (2) N 能被控制到多小的範圍
我是想先從 f,g 都 primitive 下手，m = deg(f) 而且 n = deg(g)，當然 m≧n。
如果 g(c) 都不是 0，那 f(c)/g(c) 就都是整數。
要是 c 有 m+1 個，可以拿其中 m-n+1 個用拉格朗日插值插出一個 h(x) in Q[x]，
其中 h(c) = f(c)/g(c) for all c。
在這裡如果能確保 deg(h) = m-n、而且每組 c 都插出同一個 h 的話，
那 N 就是 m+1。
不過這個條件感覺用起來很麻煩，
所以也可以換成直接拿 m+1 個 c 去插，但要能確保插出一個 m-n 次的 h，
也就是 m-n+1 次以上的係數都要是 0（而且 m-n 次的係數不能是 0）。
這樣 f 和 gh 就在 m+1 個相異數字上等值，所以 f = gh in Q[x]。
但如果有某個 g(c) 是 0，那我們可能很難看出 f 和 g 中 x-c 的重數。
要是 g 的 x-c 比 f 的還多，那就怎樣都不能整除了。
不過這方面不用擔心，因為我們看這個 c 也只看一次（所有 c 都相異）。
至於要求 primitive 則是因為我想起了個叫做 numerical polynomial 的東西。
F in Q[x]，當整數 n 超過某數後 F(n) 都是整數，
那 F(x) 就可以寫成 C(x,k) 的線性組合，而且係數都是整數。
所以即便上面那個 h 的圖形通過無限多個格子點，
那也很難保證 h 是整係數的，反例就是 x(x+1)/2 這種。
（其實 numerical polynomial 代任何整數都會算出整數。）
但是如果要求 f 和 g 都 primitive，
那 h 的 primitive part 和 g 的乘積就會是 f，
但 f = gh，所以 h = h 的 primitive part，也就是一個整係數多項式。
所以就這題來說，隨便挑 14 個相異整數 c 去算 f(c)/g(c) 然後插出 h。
c │ f(c)/g(c)
──┴───────
-6 -296833953
-5 -38146970
-4 -3050399
-3 -113874
-2 -1013
-1 22
0 45
1 46
2 2071
3 199302
4 4793497
5 55486510
6 408146691
7 2202022966
然後插出來的是 x^11+x^10-x^9-3x^8-x^7+5x^6+7x^5-3x^4-17x^3-11x^2+23x+45。
的確 h 的 13、12 次係數是 0，而且 11 次係數不是 0。
又因為 f、g 都有係數 1 的項 => 都 primitive，
那就能知道 f = gh，而且 h 也的確是整係數多項式。
總之我覺得須要增加條件：
f 和 g 都 primitive
（不加這條的話，會有 g(c)|content(f) 的問題，那這樣我們會對 f 知之甚少。
又或者為了要把 g = content(f) 的因數的情況盡數排除，
只好在 N 上加上很多個 n，大概有 content(f) 的因數個數那麼多個 n。）
和 h 的高次項係數要 0 掉。
而第二個條件可以寫成
Σf(c_i)/g(c_i) * c_i^k/d_i = 0, for k < n
Σf(c_i)/g(c_i) * c_i^n/d_i ≠ 0 ，其中 d_i = Π_{j≠i} (c_i - c_j)
後半句應該是多餘的，因為多項式全等定理會保證 deg(h) = m-n，所以就不上色了。
此時 N = m+1。
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