[代數] 問一題模考的多項式
今年數A的模考題，沒有原題，以下是簡述
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已知 a 是整數
且 x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式
試求 a
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本題是單選，因此刪一刪答案就出來了
但我還是有幾個問題，有點抽象不好意思
Q1. 雖然可能的 a 只有一個，其它都不可能
但要怎麼確定這個 a 真的是答案？
Q2. 有沒有一個定理類似以下敘述，或是反例
「設整係數多項式 f, g, 會有一個正整數 N = N(f, g) 使得
若有 N 個相異 c 滿足 g(c) | f(c), 則 g(x) | f(x) in Q[x]」
由於有 2 | n(n+1) 的情況，整除只能在有理數多項式內
Q3. 出題老師是怎麼知道，或是從哪裡知道
x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式的？
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呃 兩根是 (1/2)(1+sqrt(7) i) 我不覺得代入是好方法XD
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g(c) | f(c) 是 in Z, 但 g(x) | f(x) 是 in Q[x]
或者我應該寫 存在正整數 M 使得 g(x) | M f(x) in Z[x]
我目前想一想 方向有兩個
(1) 有沒有可能 g(x) 不整除 M f(x)
但是有無限多個 c 滿足 g(c) | f(c)
(2) N 能被控制到多小的範圍
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對了 其實題目有說 Q(x) 是整係數 是我沒打上來
這題難度很弔詭 老師都知道這題超出高中程度
但高中生看看詳解 覺得看得懂
就以為這題不難 只是考試沒想到
一般高中生對整數相關題目的難度沒有認知
大抵都停在看詳解看的懂 但自己寫不出來的程度
※ 編輯: TimcApple (101.10.106.171 臺灣), 12/02/2021 02:50:07
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