Re: [分析] Sf(x)x^n = 0 得到f=0 a.e.
不好意思對L^∞不熟, 大致上梳理一下脈絡
※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之銘言：
: 標題: Re: [分析] Sf(x)x^n = 0 得到f=0 a.e.
: 時間: Sun Oct 17 10:53:12 2021
:
: 無論f 是連續函數還是L^1函數，可以用同一套方法來證明。
: 關鍵在於，不是用多項式逼近f，而是和f搭配的g函數(如下Step 1.)。
:
: Step 1：積分 f(x) g(x) dx = 0 for all continous g.
:
: 由Weierstrass逼近定理，取多項式 Pn → g uniformly (i.e., in L^inf)
:
: 由於f最差是L^1，故積分 f(x)Pn(x) dx → 積分 f(x)g(x)dx (Holder ineq)
(1) Step 1是不是在證明: if ∫_{x=a~b} f(x) x^n dx = 0 for all n>=0
then ∫_{x=a~b} f(x) g(x) dx = 0 for all continous g
(2) 你註明的" (i.e., in L^inf) "是否是:
If f is continuous on [a,b]
Then |f|_∞ in sup-norm sense = |f|_∞ in L^∞ sense
(因為沒推導過高維sup-norm與實變L^∞的異同, 所以這邊確認一下)
(3) 你註明的" (Holder ineq) "是否是:
|∫_{x=a~b} f(x)Pn(x) dx - ∫_{x=a~b} f(x)g(x) dx|
<= |∫_{x=a~b} f(x)(Pn(x)-g(x)) dx|
<= ∫_{x=a~b} |f(x)(Pn(x)-g(x))| dx
<= (∫_{x=a~b} |f(x)|dx) * |Pn-g|_∞ (Holder 用在這)
然後n→∞立得所求
:
: Step 2：考慮Friedich mollifier
: 取 h(x)= max(1-|x|,0) 則
: h 為continuous function of compact support (這邊不需要smooth)
: h >= 0
: 積分 h(x) dx = 1
:
: 對於eps>0，
: f_eps(x) = 積分 f(y) h((x-y)/eps)/eps dy
:
: 由Step1知 f_eps(x)=0 for all x, eps
:
: Step 3：想辦法用f_eps逼近f
:
: 這時巧妙各有不同
:
: Case 1. f 連續，高等微積分程度：
: 利用(第二)積分均值定理，固定f的連續點x0，對於eps夠小
:
: 0 = f_eps(x0) = 積分(x0-eps, x0+eps) f(y) h((x-y)/eps)/eps dy = f(x0*)
: for some x0* in x0-eps, x0+eps。
:
: 得一組點列→x0，且f取值為0，由連續性得f(x0)=0。
:
: 這個方法，是對於f的每個連續點都證出f(x0)=0，考慮到Riemann可積分函數
: 是連續a.e.，那其實也已經證明到Riemann可積函數了。
:
: Case 2.f 是L^1，實分析程度
:
: Method 1. 引用Friedich mollifier的性質：當F屬於L^p時，則F_eps → F in L^p
:
: 在本題中 f_eps → f in L^1，f=0 a.e.
(1) 好奇問一下, 這個Friedich mollifier是不是Zygmund Lemma(7.3)的另一種證明
原Lemma是證明先證明特徵函數有這性質, 然後其線性組合也有, 然後堆疊上去
L大的證明是直接把這個函數找出來?
=============這區塊經c大提醒忽略, 原本就沒有========================
(2) 這裡不理解為什麼:
If f_eps → f in L^1
Then f*f_eps → f*f in L^1
我之前需要f有界就是為了把f提出來, 還是不是這個邏輯呢?
====================================================================
:
: Method 2. 可以用一個更厲害的，Lebesgue 微分定理：
:
: 若 F in L^1，則
: 積分(B(x,eps)) |F(y)-F(x)| dy / |B(x,eps)| → 0 a.e. as eps→0+
:
: (這些點稱為Lebesgue point)
:
: 從這裡也可以推出f=0 a.e.，而且可發現正是Lebesgue point取代Case 1.中連續點的角色。
:
: ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: : 在高微證過當f€C[a,b]時, 如果有
: : b
: : ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 (黎曼積分)
: : a
: : 那就有f處處為0
: : 今天的問題是假設沒有連續性, 如果一樣假設
: : b
: : ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 (Lebesgue積分)
: : a
: : 是否能推出f = 0 almost everywhere
: : ==========================================
: : 我目前是要假設f在[a,b]有界就可以證出來了
: : (利用一串連續函數逼近L^1函數, 再用Weierstrass多項式逼近到那些連續函數
: : 只是最後統合的過程必須把|f(x)|提出來, 所以需要有界)
: : 因此想知道是否原題有反例還是有原題成立的證明
: : 謝謝！
:
: --
: 中 最 連 緊 閉 開
: 值 大 通 緻 集 集
: 在 最 到 映 返 返
: 中 小 連 緊 閉 開
: 間 值 通 緻 集 集
: 。 ， 。 ， ； ，
:
: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.85.1.57 (臺灣)
: ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1634439220.A.563.html
謝謝回答~
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1634476791.A.F19.html
推
10/18 02:01,
2年前
, 1F
10/18 02:01, 1F
推
10/18 02:08,
2年前
, 2F
10/18 02:08, 2F
恩恩~我漏看了, 修改一下, 謝謝!
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/18/2021 03:17:46
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 5 之 5 篇)：