Re: [分析] Sf(x)x^n = 0 得到f=0 a.e.

看板Math作者secjmy (大雄)時間4年前 (2021/10/09 19:50)推噓4(4推 0噓 7→)

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※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 在高微證過當f€C[a,b]時, 如果有 : b : ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 (黎曼積分) : a : 那就有f處處為0 : 今天的問題是假設沒有連續性, 如果一樣假設 : b : ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 (Lebesgue積分) : a : 是否能推出f = 0 almost everywhere : ========================================== : 我目前是要假設f在[a,b]有界就可以證出來了 : (利用一串連續函數逼近L^1函數, 再用Weierstrass多項式逼近到那些連續函數 : 只是最後統合的過程必須把|f(x)|提出來, 所以需要有界) : 因此想知道是否原題有反例還是有原題成立的證明 : 謝謝！我不確定一般的[a,b]區間是對不對，如果是[0,1]的話是對的 x 考慮g(x)=∫f(t)dt，則因f是L^1，所以g在[0,1]上(絕對)連續，而且g'=f a.e. 0 注意到g(1)=0，所以 1 1 1 ∫g(t)t^n dt=g(t)t^{n+1}/(n+1)| -∫f(t)t^{n+1}dt=0 for all n>=0 0 0 0 因為g是連續，所以利用高微證過的結果，g=0 因此f=0 a.e. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.114.34.213 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1633780227.A.ABE.html

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Vulpix

10/09 20:02, 4年前 , 1^F

10/09 20:02, 1^F

我一開始以為換成[a,b]的話在分部積分那邊會出問題不過剛剛仔細寫一下，發現[a,b]的情況g(a)=g(b)=0，真是太完美了XD

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znmkhxrw

10/10 00:26, 4年前 , 2^F

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znmkhxrw

10/10 00:26, 4年前 , 3^F

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znmkhxrw

10/10 00:26, 4年前 , 4^F

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也沒什麼motivation耶，倒是背後有一些故事可以閒聊一下我之前看過這題也不太會寫，就拿去問C老師(他以前考試出過這題) C老師的作法用了很多大定理，包括Lusin theorem, Urysohn lemma, Weierstrass approximation theorem 隔了一陣子後我剛好翻到以前S老師的高微筆記有個類題，剛好就是用分部積分解的於是我想到也許能用在這題結果試了一下還真的可以，實在是運氣很好我就拿我的作法去跟C老師分享，他檢查所有條件都沒問題後，表示不錯，簡單很多XD 類似的題目指的是這個，有興趣的話可以想一下，作法差不多 f: L^1 on [0,1] 1 If ∫f(t)sin(nπt)dt=0 for all n>=1, then f=0 a.e. 0 ※ 編輯: secjmy (140.114.34.213 臺灣), 10/10/2021 02:03:54

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znmkhxrw

10/10 02:18, 4年前 , 5^F

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znmkhxrw

10/10 02:18, 4年前 , 6^F

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znmkhxrw

10/10 02:19, 4年前 , 7^F

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