[微積] 冪級數

看板Math作者 (等天放晴 到大溪地)時間5年前 (2020/09/21 20:38), 編輯推噓1(1推 0噓 28→)
留言29則, 2人參與, 5年前最新討論串7/7 (看更多)
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似乎是問冪級數和泰勒級數的關聯 想了很久 仍不知怎麼做 麻煩大大幫忙給些想法 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.8.162.251 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1600691893.A.A24.html
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09/21 20:56, 5年前 , 1F
左邊是等比級數 所以左式=1/(1+x^2)在(0,1)內
09/21 20:56, 1F
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09/21 20:58, 5年前 , 2F
假設1/(1+x^2)在3展開為Σb_n(x-3)^n 因為
09/21 20:58, 2F
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09/21 20:59, 5年前 , 3F
Σb_n(x-3)^n=Σa_n(x-3)^n對所有x在(0,1)上 所以
09/21 20:59, 3F
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09/21 21:00, 5年前 , 4F
a_n=b_n 也就是只要考慮1/(1+x^2)在3展開就好
09/21 21:00, 4F
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09/21 21:02, 5年前 , 5F
如果允許用複變知識的話 因為1/(1+x^2)在正負i有
09/21 21:02, 5F
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09/21 21:04, 5年前 , 6F
singularity 所以lim sup就是3和正負i的距離√10
09/21 21:04, 6F
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09/21 21:17, 5年前 , 7F
若不用複變知識 令y=x-3 則1/(1+x^2)=1/(y^2+6y+10)
09/21 21:17, 7F
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09/21 21:19, 5年前 , 8F
解1/(y^2+6y+10)=Σa_n*y^n得a0=1/10 a1=3/50 及
09/21 21:19, 8F
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09/21 21:20, 5年前 , 9F
a_n+6*a_{n+1}+10*a_{n+2}=0 for all n=0,1,2,3,...
09/21 21:20, 9F
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09/21 21:28, 5年前 , 10F
打錯 a1=-3/50
09/21 21:28, 10F
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09/21 21:38, 5年前 , 11F
冏 不用複變知識的我再想想
09/21 21:38, 11F
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09/21 21:43, 5年前 , 12F
首先 lim sup要是收斂半徑的倒數 所以上面應修正為
09/21 21:43, 12F
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09/21 21:45, 5年前 , 13F
lim sup part = 1/√10
09/21 21:45, 13F
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09/21 22:14, 5年前 , 14F
接著 下圖接續不用複變知識的部份
09/21 22:14, 14F
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09/21 22:14, 5年前 , 15F
09/21 22:14, 15F
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09/21 22:19, 5年前 , 16F
圖中有一個小缺陷 我們不只要要求a不等於b 我們更要
09/21 22:19, 16F
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09/21 22:19, 5年前 , 17F
|a|不等於|b|才對
09/21 22:19, 17F
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09/21 22:41, 5年前 , 18F
冏 |a|的確等於|b| 所以必須改寫圖中倒數第三個式子
09/21 22:41, 18F
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09/21 22:42, 5年前 , 19F
並證明 "lim sup"為1才對
09/21 22:42, 19F
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09/21 23:24, 5年前 , 20F
下圖重新修正前一張圖的錯誤
09/21 23:24, 20F
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09/21 23:24, 5年前 , 21F
09/21 23:24, 21F
推
09/22 01:14, 5年前 , 22F
犯蠢了 直接考慮1/(1+x^2)=
09/22 01:14, 22F
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09/22 01:14, 5年前 , 23F
(1/2i)*{1/(x-i) - 1/(x+i)}對3展開就好了 不用考慮
09/22 01:14, 23F
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09/22 01:14, 5年前 , 24F
遞迴式
09/22 01:14, 24F
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09/22 01:17, 5年前 , 25F
因為展開時是用等比級數的公式 很容易就可以看出收
09/22 01:17, 25F
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09/22 01:17, 5年前 , 26F
斂半徑是√10
09/22 01:17, 26F
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09/22 09:23, 5年前 , 27F
下圖是用等比級數而不用遞迴式
09/22 09:23, 27F
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09/22 09:24, 5年前 , 28F
09/22 09:24, 28F
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09/22 12:03, 5年前 , 29F
太感謝了……
09/22 12:03, 29F
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