[微積] 冪級數消失

看板Math作者時間15年前 (2011/03/02 16:30), 編輯推噓3(3推 0噓 12→)
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題目如下: Let f(x)=xexp(x). (a)Expand f(x) in a power series. ∞ 1 1 (b)Integrate the power series in part (a) and show that Σ --------- = --- n=1 n!(n+2) 2 . 以下是我計算的部分: (a) ∞ x^n ∞ x^(n+1) f(x)=xexp(x)=xΣ -----=Σ --------- n=0 n! n=0 n! (b) x ∞ t^(n+1) ∞ x t^(n+1) ∞ x^(n+2) ∫ Σ ---------dt=Σ ∫ ---------dt=Σ --------- 0 n=0 n! n=0 0 n! n=0 n!(n+2) 接下來就想不出來了 煩請各位高手幫忙 謝謝!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
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03/02 16:34, , 1F
x=1代入........
03/02 16:34, 1F
∞ 1 當x=1,Σ --------- n=0 n!(n+2) 那要怎樣讓它等於1/2 ? ※ 編輯: raymond168 來自: 210.64.213.64 (03/02 16:46)
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03/02 16:53, , 2F
1/(n+1)!-1/(n+2)!=1/n!(n+2)
03/02 16:53, 2F
還是不太懂? ※ 編輯: raymond168 來自: 59.105.39.28 (03/02 18:43)
推
03/02 18:58, , 3F
第二小題就相當於代x = 1,樓上的意思是說右邊可以拆
03/02 18:58, 3F
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03/02 18:58, , 4F
成左邊,然後分項對消.
03/02 18:58, 4F
推
03/02 19:13, , 5F
\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!(n+2)}
03/02 19:13, 5F
推
03/02 19:20, , 6F
=\int xe^x dx=xe^x-e^x x=1代入得到0
03/02 19:20, 6F
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03/02 19:20, , 7F
hence \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!(n+2)}=0 by
03/02 19:20, 7F
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03/02 19:22, , 8F
Abel limit thm
03/02 19:22, 8F
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03/02 19:23, , 9F
可是我算出來的是收斂到-1/2(調整一下index)
03/02 19:23, 9F
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03/02 19:23, , 10F
我也不知道哪邊算錯看誰可以幫忙檢查==
03/02 19:23, 10F
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03/02 19:24, , 11F
0!=1 ,x=0時 +1/1!-1/2! ,x=1 時 +1/2! -1/3!
03/02 19:24, 11F
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03/02 19:26, , 12F
x=2時 +1/3! -1/4! ...中間項消掉剩1/2 -1/(∞+1)!
03/02 19:26, 12F
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03/02 19:27, , 13F
x-> ∞ 1/n!(n+2)＝1/2
03/02 19:27, 13F
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03/03 10:17, , 14F
感謝樓上各位大大的指點，我瞭解了，感恩!!
03/03 10:17, 14F
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03/03 12:40, , 15F
應該n=1 ....n=∞ 我搞錯
03/03 12:40, 15F
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