Re: [其他] 代數結構的體(fields)跟場論的場一樣嗎?

看板Math作者 (cluster)時間3年前 (2020/06/13 15:44), 3年前編輯推噓6(7推 1噓 84→)
留言92則, 9人參與, 3年前最新討論串3/4 (看更多)
※ 引述《davidwales (cluster)》之銘言： : 代數結構有所謂的 群環體 : 我發現 體 (fields)也是某種可以描述系統對稱性的代數結構 : 體 (fields) 跟物理學的"場" (ex:電磁場 量子場) 等等 : 是一樣或是概念上類似的的東西嗎? : 感謝! 我自己找了一下相關資料, 分享一下, 也請版友指證 1. 數學上 我們可以定義一個向量空間在一個體上 (define a vector space over a field) 2.物理'向量場'(vector field)則可被定義為 一個module在ring上的元素 module 是一個廣義化的vector space, 而ring是條件鬆綁之後的體 所以有兩種定義: module 在 ring 上 (物理的向量場) vector space 在 field 上 (數學系的定義) 結論: 數學所謂的定義一個向量空間在一個體上和 物理的向量場(vector field)的定義似乎不完全一樣,但概念上是非常接近的 不過版友似乎指向他們是不同的 版友意思有沒有可能是概念上是相同的,但嚴格定義是有些微差異這樣? 因為物理場 有分 純量場 向量場 張量場 如果 物理的'向量場' 和 數學的 '向量空間被定義在一個體(field)上' 是90%等價的 那其實已經很大程度上解決了名詞定義上的可能混淆狀況 當然還需要在分析 純量場和張量場的例子 但我認為不會太麻煩 我認為能夠釐清這兩者差別是非常有學術價值的 希望大家能指點一下迷津和分享討論! 萬分感謝!!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.175.81.240 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1592034259.A.EC0.html ※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/13/2020 15:46:02 ※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/13/2020 15:47:32
→
06/13 15:52, 3年前 , 1F
你直接看實例就知道大概有多麼不一樣了
06/13 15:52, 1F
→
06/13 15:53, 3年前 , 2F
你講的那部份並不是完整定義，你這樣就像是把兩個
06/13 15:53, 2F
→
06/13 15:53, 3年前 , 3F
不同的東西只取一小部份來看，然後說有兩句話很像
06/13 15:53, 3F
→
06/13 15:57, 3年前 , 4F
或是這麼說吧 物理的向量場改叫做module ring
06/13 15:57, 4F
→
06/13 15:57, 3年前 , 5F
會不會比較不會造成名詞上的誤導?
06/13 15:57, 5F
→
06/13 15:59, 3年前 , 6F
兩個就不同領域的，沒什麼好誤導啊
06/13 15:59, 6F
推
06/13 16:27, 3年前 , 7F
我之前有推文有說他們有相關。你點向量場wiki
06/13 16:27, 7F
→
06/13 16:28, 3年前 , 8F
一開始就有向量微積分，向量微積分裡面就有講用向
06/13 16:28, 8F
→
06/13 16:29, 3年前 , 9F
量空間來設計。高中重力，電磁學都有用到合力等向
06/13 16:29, 9F
→
06/13 16:30, 3年前 , 10F
量合成概念。大一大二的課程也會有點相關，之後
06/13 16:30, 10F
→
06/13 16:30, 3年前 , 11F
的越深大概會越來越偏離。就像你看到向量空間會知道
06/13 16:30, 11F
→
06/13 16:31, 3年前 , 12F
數學的，看到場會知道是物理的。高中物理化學可以
06/13 16:31, 12F
→
06/13 16:31, 3年前 , 13F
放在數學一起念，當數學建模就好。
06/13 16:31, 13F
推
06/13 19:25, 3年前 , 14F
sars flu coronavirus
06/13 19:25, 14F
噓
06/13 19:44, 3年前 , 15F
向量場不是單純指向量空間
06/13 19:44, 15F
關於你推文的這個部分 我內文有提
→
06/13 19:53, 3年前 , 16F
你這裡所謂分享 不就是任何一本代數就有的內容？
06/13 19:53, 16F
※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/13/2020 19:56:42
→
06/13 19:59, 3年前 , 17F
所以版友叫你先去看書啊 連這些最基本的定義都沒搞
06/13 19:59, 17F
→
06/13 19:59, 3年前 , 18F
清楚 再怎麼討論都不會有交集
06/13 19:59, 18F
推
06/13 21:41, 3年前 , 19F
孔子顯然說錯了。思而不學的人不會殆，周圍的人才殆
06/13 21:41, 19F
→
06/13 21:43, 3年前 , 20F
數學我不說，能不能請原po先讀過一點物理的場？
06/13 21:43, 20F
→
06/13 21:47, 3年前 , 21F
物理的場本質是從時空間映射到某些集合上的mapping
06/13 21:47, 21F
→
06/13 21:47, 3年前 , 22F
。我在原po的敘述裡面完全看不到這個認知。
06/13 21:47, 22F
→
06/14 00:07, 3年前 , 23F
wohtp 你講的映射 可否跟我內文說的module在ring上
06/14 00:07, 23F
→
06/14 00:07, 3年前 , 24F
這件事做出一些連結?
06/14 00:07, 24F
→
06/14 00:12, 3年前 , 25F
或是我換個說法 物理的向量場就是 module映射到
06/14 00:12, 25F
→
06/14 00:13, 3年前 , 26F
ring上的這個操作過程
06/14 00:13, 26F
→
06/14 00:15, 3年前 , 27F
a vector space over a field 這在數學系有沒有比
06/14 00:15, 27F
→
06/14 00:16, 3年前 , 28F
較簡便的說法呢?
06/14 00:16, 28F
→
06/14 00:18, 3年前 , 29F
我仔細看你內文，發現你講的根本不是物理場
06/14 00:18, 29F
→
06/14 00:19, 3年前 , 30F
你知道over a field到底是什麼意思嗎？
06/14 00:19, 30F
→
06/14 00:24, 3年前 , 31F
over a field 就是從原本的要素中篩選出符合CANI的
06/14 00:24, 31F
→
06/14 00:26, 3年前 , 32F
要素 C:commutative, A:associative,I:identity
06/14 00:26, 32F
→
06/14 00:28, 3年前 , 33F
N: neutral element
06/14 00:28, 33F
→
06/14 00:29, 3年前 , 34F
不是，是用這個field構造出的新代數結構，所以才用
06/14 00:29, 34F
→
06/14 00:29, 3年前 , 35F
over表達
06/14 00:29, 35F
→
06/14 00:30, 3年前 , 36F
06/14 00:30, 36F
→
06/14 00:30, 3年前 , 37F
這個影片講得很清楚
06/14 00:30, 37F
→
06/14 00:30, 3年前 , 38F
以你的說法，你能說出一個電場的module長什麼樣嗎？
06/14 00:30, 38F
→
06/14 00:30, 3年前 , 39F
ricestone講的定義也沒有錯
06/14 00:30, 39F
→
06/14 00:31, 3年前 , 40F
電磁場嗎?
06/14 00:31, 40F
→
06/14 00:32, 3年前 , 41F
抱歉，你可以跟我說那影片哪裡有說over a field是
06/14 00:32, 41F
→
06/14 00:32, 3年前 , 42F
我是引述quora的一個會員講的
06/14 00:32, 42F
→
06/14 00:32, 3年前 , 43F
06/14 00:32, 43F
→
06/14 00:32, 3年前 , 44F
篩選什麼嗎？你的給我的時間只是講field
06/14 00:32, 44F
→
06/14 00:33, 3年前 , 45F
數學本身就有vector field的概念了，微分方程都在講
06/14 00:33, 45F
→
06/14 00:33, 3年前 , 46F
這東西
06/14 00:33, 46F
→
06/14 00:34, 3年前 , 47F
那回答就是在講兩種東西概念不一樣
06/14 00:34, 47F
→
06/14 00:37, 3年前 , 48F
重點是，你把over a field的"vector space"跟
06/14 00:37, 48F
→
06/14 00:38, 3年前 , 49F
over a ring的"module"比在一起，但你沒發現兩個位
06/14 00:38, 49F
→
06/14 00:38, 3年前 , 50F
置不同嗎？
06/14 00:38, 50F
→
06/14 00:38, 3年前 , 51F
下面可以說是vector field，但上面的field是被over
06/14 00:38, 51F
→
06/14 00:38, 3年前 , 52F
的東西
06/14 00:38, 52F
這邊解釋一下 我內文認為的相似之處在於 物理系的 "vector field := a module over a ring" 這件事情跟數學系的 "a vector space over a field" 我認為很像 我特別用紫色標出我認為是雙方概念接近的部分 ※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/14/2020 00:42:43
→
06/14 00:45, 3年前 , 53F
所以你現在是認為"a vector space over a field"是
06/14 00:45, 53F
→
06/14 00:45, 3年前 , 54F
一個數學上的field嗎？
06/14 00:45, 54F
→
06/14 00:47, 3年前 , 55F
"a vector space over a field" 這是數學系的講法
06/14 00:47, 55F
→
06/14 00:47, 3年前 , 56F
自然那個fields是代數的那個'體'
06/14 00:47, 56F
→
06/14 00:47, 3年前 , 57F
我跟你說，那就是vector space，不是field
06/14 00:47, 57F
→
06/14 00:49, 3年前 , 58F
就像a man in a red cloth，是man，不是red cloth
06/14 00:49, 58F
→
06/14 16:02, 3年前 , 59F
我直接跟你講，物理的vector field不管怎麼理解都不
06/14 16:02, 59F
→
06/14 16:03, 3年前 , 60F
是a module over a ring。
06/14 16:03, 60F
→
06/14 16:04, 3年前 , 61F
最簡單的向量場例子至少是module-valued function
06/14 16:04, 61F
→
06/14 16:04, 3年前 , 62F
defined on a manifold
06/14 16:04, 62F
→
06/14 16:06, 3年前 , 63F
這已經不是拿蘋果比橘子了。這是明說要拿蘋果比橘子
06/14 16:06, 63F
→
06/14 16:06, 3年前 , 64F
但拿出來的「蘋果」是顆大西瓜。
06/14 16:06, 64F
推
06/14 16:50, 3年前 , 65F
代數結構的 field 任兩個元素有除法（分母不為0
06/14 16:50, 65F
→
06/14 16:51, 3年前 , 66F
向量場拿兩個向量 我看你怎麼除XD
06/14 16:51, 66F
→
06/14 16:53, 3年前 , 67F
任兩個向量場也不能除 這跟代數的 field 怎麼比
06/14 16:53, 67F
→
06/14 16:56, 3年前 , 68F
另外 向量場是 function 代數的體是 structure
06/14 16:56, 68F
→
06/14 16:57, 3年前 , 69F
至少拿所有向量場的集合來比吧
06/14 16:57, 69F
→
06/14 16:58, 3年前 , 70F
但這東西也不是 field 理由同上因為沒除法
06/14 16:58, 70F
我覺得我的疑問在這個影片有得到一些解惑 建議大家可以看看 https://tinyurl.com/ycch2f42 簡單說 module over a ring 是要處理一些特殊manifold上沒有basis的問題 比方說 S2(2維球面) ※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/14/2020 17:51:20 ※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/14/2020 17:53:18
→
06/14 18:59, 3年前 , 71F
提示：他這裡只講向量，沒有場
06/14 18:59, 71F
推
06/15 12:23, 3年前 , 72F
向量場s是可以理解成 module over coordinate ring
06/15 12:23, 72F
→
06/15 12:24, 3年前 , 73F
但是英文 vector field 的 field 單純是常見英文
06/15 12:24, 73F
→
06/15 12:25, 3年前 , 74F
應做baseball field的field解
06/15 12:25, 74F
→
06/15 12:25, 3年前 , 75F
跟代數結構的 field 沒有關係XD
06/15 12:25, 75F
→
06/15 12:26, 3年前 , 76F
就像 Lie algebra 的 Lie 是姓氏 不是說謊代數
06/15 12:26, 76F
→
06/15 14:32, 3年前 , 77F
06/15 14:32, 77F
→
06/15 14:32, 3年前 , 78F
這個影片已經解決我這個討論串90%疑惑,感謝版友的
06/15 14:32, 78F
→
06/15 14:33, 3年前 , 79F
參與和討論 小弟獲益匪淺
06/15 14:33, 79F
→
06/15 14:35, 3年前 , 80F
a smooth vector field 是一個C^inf(M)-module
06/15 14:35, 80F
→
06/15 14:36, 3年前 , 81F
並不是a vector space on a field, 因為很多時候
06/15 14:36, 81F
→
06/15 14:37, 3年前 , 82F
a vector S on a field會違反hairy ball theorem.
06/15 14:37, 82F
→
06/15 14:38, 3年前 , 83F
所以 為了讓物理場不違反hairy ball theorem,我們才
06/15 14:38, 83F
→
06/15 14:38, 3年前 , 84F
需要把它重新定義成 module on a ring, 或是
06/15 14:38, 84F
→
06/15 14:39, 3年前 , 85F
C^-inf(M)-module;但 我個人認為vector space on a
06/15 14:39, 85F
→
06/15 14:39, 3年前 , 86F
field和 a module on a ring概念上是接近的
06/15 14:39, 86F
※ 編輯: davidwales (1.175.94.41 臺灣), 06/15/2020 14:40:55
→
06/15 14:41, 3年前 , 87F
但儘管概念上接近 a vector space on a field 的確
06/15 14:41, 87F
→
06/15 14:42, 3年前 , 88F
和 module on a ring 有著差異性,至於是否只差hairy
06/15 14:42, 88F
→
06/15 14:43, 3年前 , 89F
ball theorem,我就不是很確定 但我想我已經滿足了
06/15 14:43, 89F
推
06/15 20:21, 3年前 , 90F
06/15 20:21, 90F
→
06/15 20:22, 3年前 , 91F
Dummit 的代數課本上面已經有寫了啊
06/15 20:22, 91F
推
06/15 20:29, 3年前 , 92F
R 是 field 的時候上面的 module 跟 VS 是同一件事
06/15 20:29, 92F
‣ 更多 davidwales 的文章
文章代碼(AID): #1Uv8FJx0 (Math)
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 3 之 4 篇)：
排序： 最舊先 | 最新先 | 留言數
在新視窗開啟完整討論串 (共4篇)
‣ 更多 davidwales 的文章
文章代碼(AID): #1Uv8FJx0 (Math)