Re: [其他] 代數結構的體(fields)跟場論的場一樣嗎?
數學中的field指的是某種代數結構.他是群(group)跟環(ring)概念的延伸.
所以先講群比較簡單
https://i.imgur.com/gnumzPe.png
群是在一個集合內賦予他運算.會滿足三個原則 1-結合律2-單位元素 3-反元素
最簡單的例子比如x^4=1的解1,-1,i,-i在乘法下就是群.你可以動手畫個4x4表格看看
並觀察,在對角線上下有對稱性,把這種對群內都滿足a*b=b*a稱為交換群(abelian)
note:不可交換群的標準範例Dihedral Groups.有興趣可谷歌 .接著
把10以下跟10互質的數字找出來有: 1,3,7,9 在 mod10 的乘法下也會形成群,稱U10
https://i.imgur.com/R4ylCGK.png
有沒發現上面這個表格跟你之前畫的很像呢?這種很像,用數學語言說法,叫做同構
(isomorphic),事實上,這兩個都叫做循環群cyclic group,顧名思義就是這個群可以
僅用一個元素並對自己一直做運算去生成,而這元素就稱為生成子(generator)
比如用i去乘法自己四次.就是你的表格 或用 3去乘法自己四次(mod 10).形成U10
事實上這兩種群都跟Z_4同構.
有個有趣的問題,n在那些值時.使Un是循環群呢? 高斯給了答案:
https://i.imgur.com/YjbLpA6.png
研究群的主題很多,比如subgroup/permutation/homomorphism/automorphism/
coset/factor group/simple group 等等.
再來對 環+體 做個定義:
https://i.imgur.com/jEggFwq.png
簡言之就是這個群他本身加法下可交換.成為了abelian.並且乘法下有結合律跟分配律的
話.他就進化了.變成Ring.而體(field)就是Ring在乘法裡補上那些abelian在加法下
有的性質,在乘法下也來一套,進化成最完美的情況.也就是加入:
乘法單元+乘法反元素+乘法交換律.
總結一下體(field)滿足在加法與乘法下有:
結合律: (a*b)*c = a*(b*c)
交換律: a*b=b*a
單位元素: 存在e使a*e=e*a=a {若*是加法則e=0,反之若*是乘法則e=1}
反元素: 對任意非0的a.存在b使a*b=b*a = e {類上有a+(-a) = 0 或axa^-1 = 1}
最後補上分配律.大功告成
要問-那體的樣子是怎樣?就像上述.在加法表跟乘法表下有雙abelian的樣子.
最早發現有限體內元素個數是p^n的有兩位(p is prime)分別是Gauss跟Galois,為了紀念
Galois所發現Field.後世都簡稱GF(p^n).而n=2或以上都是用factor poly-ring去切出來的.
想知道的話.歡迎進入抽象代數的世界.
而n=1就簡單多了.就是上面說的Up.比如把U3,U5,U7,U11....分別列出加法跟乘法表.
你就得到Field了
補充-下面是GF(9)在乘法下的樣子.(加法easy就不列)
https://i.imgur.com/Zc5OvDA.png
至於物理中的場?我想你可先把微積分+工程數學中的向量分析看看.就會瞭.
版上高手頗多.這就不介紹.
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