[線代] 關於特徵空間和特徵值

看板Math作者 (We’re living louder)時間7年前 (2019/01/14 15:00), 7年前編輯推噓18(18推 0噓 91→)
留言109則, 7人參與, 7年前最新討論串1/4 (看更多)
若已知特徵空間的維度是n，則所對應的特徵值有n個重根。 請問以上的敘述是正確的嗎？ 相關的例子：下圖的紅筆部分(來自周志成的線代解答) https://i.imgur.com/IdtSVTi.jpg
-------------------------------------------- 在我的理解裡，若是有相同n個的特徵值，則所對應的獨立的特徵向量小於等於n個。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.242.199.227 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1547449208.A.3E2.html ※ 編輯: LivingLouder (27.242.199.227), 01/14/2019 15:31:42
推
01/14 17:04, 7年前 , 1F
他是找到n-1個獨立特徵向量，所以確認dim≧n-1。
01/14 17:04, 1F
推
01/14 17:04, 7年前 , 2F
有後面的資訊嗎 試了一下只能確定"至少" 不是剛好
01/14 17:04, 2F
→
01/14 17:08, 7年前 , 3F
最後一個eigenvalue是1+(v^T u)。
01/14 17:08, 3F
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01/14 17:11, 7年前 , 4F
針對原po說的這個命題很容易舉反例。
01/14 17:11, 4F
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01/14 17:12, 7年前 , 5F
{{1,1},{1,0}} 的eigenspace只有一維，但1是重根
01/14 17:12, 5F
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01/14 18:20, 7年前 , 6F
01/14 18:20, 6F
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01/14 18:21, 7年前 , 7F
01/14 18:21, 7F
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01/14 18:21, 7年前 , 8F
補上完整資料
01/14 18:21, 8F
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01/14 18:23, 7年前 , 9F
我猜想應該是少寫了"至少"。
01/14 18:23, 9F
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01/14 18:23, 7年前 , 10F
但是因為後面有幾題類似的題目，他都沒有提到"至少"
01/14 18:23, 10F
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01/14 18:23, 7年前 , 11F
這兩個字
01/14 18:23, 11F
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01/14 18:26, 7年前 , 12F
他的有是has不是is吧大概
01/14 18:26, 12F
推
01/14 19:26, 7年前 , 13F
第二張第一行 x和u哪來的同向
01/14 19:26, 13F
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01/14 19:27, 7年前 , 14F
噢 等等 假設 x 是特徵向量...?
01/14 19:27, 14F
→
01/14 19:28, 7年前 , 15F
要是沒特徵向量怎麼辦
01/14 19:28, 15F
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01/14 19:29, 7年前 , 16F
噢 後面的證明等於是說有特徵向量
01/14 19:29, 16F
→
01/14 19:30, 7年前 , 17F
不是啊這很倒果為因啊...
01/14 19:30, 17F
→
01/14 19:32, 7年前 , 18F
應該這樣寫 先代任意x進去 如果希望x是特徵向量的
01/14 19:32, 18F
→
01/14 19:32, 7年前 , 19F
話 則必須只能 (v^t x)=0 或 x 平行 u
01/14 19:32, 19F
推
01/14 19:37, 7年前 , 20F
然後他沒有證明 v^t u = 0 會發生什麼事情
01/14 19:37, 20F
→
01/14 19:38, 7年前 , 21F
這時候特徵值還是 1 和前狀況重複 不保證第 n 個特
01/14 19:38, 21F
→
01/14 19:38, 7年前 , 22F
徵值也是 1
01/14 19:38, 22F
推
01/14 19:46, 7年前 , 23F
用後見之明(天生神眼)就好，v┴整個掉在1-eigensp.
01/14 19:46, 23F
推
01/14 19:49, 7年前 , 24F
裡面，還有(i)如果u,v不垂直，u也是eigenvector
01/14 19:49, 24F
→
01/14 19:50, 7年前 , 25F
(ii)如果u,v垂直，那1-eigensp.就是全空間。
01/14 19:50, 25F
推
01/14 19:50, 7年前 , 26F
嗯 結論來說是這樣沒錯 但你那行要寫啊
01/14 19:50, 26F
→
01/14 19:51, 7年前 , 27F
i的情況就要多看一下新的eigenvalue是不是0。
01/14 19:51, 27F
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01/14 19:51, 7年前 , 28F
覺得證明敘述寫的很爛XD 解題想法和證明要分開寫
01/14 19:51, 28F
→
01/14 19:52, 7年前 , 29F
因為所有的eigenvector都好構造，問題才簡單的。
01/14 19:52, 29F
→
01/14 19:53, 7年前 , 30F
一起寫是為了省篇幅吧？這樣印書也可以節省成本。
01/14 19:53, 30F
→
01/14 19:54, 7年前 , 31F
我是覺得看u,v垂直與否很浪費時間XD det=1+(v^T u)
01/14 19:54, 31F
推
01/14 19:55, 7年前 , 32F
由於 1 至少有 n-1 個重根 矩陣是實係數 可知第 n
01/14 19:55, 32F
→
01/14 19:55, 7年前 , 33F
個特徵值也必須是實數 如果不是 1 的話 就一定有
01/14 19:55, 33F
→
01/14 19:55, 7年前 , 34F
個特徵向量 且不在 v^perp 裡面
01/14 19:55, 34F
→
01/14 19:55, 7年前 , 35F
不是-1就full rank，是-1的話就看v┴，rank≧n-1。
01/14 19:55, 35F
→
01/14 19:57, 7年前 , 36F
如果仍然是 1 所有特徵值都是 1
01/14 19:57, 36F
推
01/14 19:58, 7年前 , 37F
不過書上應該也不算在寫證明吧。以情報分級來說，還
01/14 19:58, 37F
→
01/14 19:58, 7年前 , 38F
只是情報資料的程度，證明才算情報。
01/14 19:58, 38F
→
01/14 19:59, 7年前 , 39F
(1) eigenspace 是全部 這時矩陣只能是 I 本身 因
01/14 19:59, 39F
還有 30 則推文
推
01/14 20:17, 7年前 , 70F
這樣寫就沒問題 可是他沒寫...
01/14 20:17, 70F
→
01/14 20:18, 7年前 , 71F
講錯了，是用u當特徵向量的特徵值一定不是1
01/14 20:18, 71F
→
01/14 20:19, 7年前 , 72F
單就這題，其實解題方法用了太大的牛刀，收刀又露一
01/14 20:19, 72F
→
01/14 20:19, 7年前 , 73F
而且還是那句話 存在性證明沒給 他假設 v^t x !=
01/14 20:19, 73F
→
01/14 20:19, 7年前 , 74F
0 中要有個特徵向量 要是沒有不就吃土了XD
01/14 20:19, 74F
→
01/14 20:19, 7年前 , 75F
截在外面，才看起來很奇怪。
01/14 20:19, 75F
→
01/14 20:20, 7年前 , 76F
我是覺得他證明寫不清楚 不該跳過的部分直接飛過去
01/14 20:20, 76F
→
01/14 20:20, 7年前 , 77F
01/14 20:20, 77F
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01/14 20:20, 7年前 , 78F
沒有當然吃土啊，這樣算是直接找到答案所以存在
01/14 20:20, 78F
→
01/14 20:20, 7年前 , 79F
跨頁那句吧。對啊，u不一定滿足第一句XD
01/14 20:20, 79F
→
01/14 20:21, 7年前 , 80F
前面 n-1 個 1 是直接找到答案沒錯
01/14 20:21, 80F
→
01/14 20:21, 7年前 , 81F
但 u 不是, u 可以不滿足 v^t u != 0
01/14 20:21, 81F
→
01/14 20:22, 7年前 , 82F
但原矩陣的eigenvector可能已經找全了，根本沒剩。
01/14 20:22, 82F
→
01/14 20:22, 7年前 , 83F
造成 v^t x != 0 根本沒答案的情況
01/14 20:22, 83F
→
01/14 20:23, 7年前 , 84F
也就是說 v┴ 是 eigenspace，u 也是 eigenvector，
01/14 20:23, 84F
→
01/14 20:23, 7年前 , 85F
兩件事都對，卻可能 u 就在 v┴ 裡面，沒有找到新玩
01/14 20:23, 85F
→
01/14 20:24, 7年前 , 86F
事實上 x為特徵向量且 v^t x != 0 真的可以沒答案
01/14 20:24, 86F
→
01/14 20:24, 7年前 , 87F
就是有個 Jordan block 2 的情況 只是此時的 rank
01/14 20:24, 87F
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01/14 20:24, 7年前 , 88F
是全滿
01/14 20:24, 88F
→
01/14 20:25, 7年前 , 89F
對 我剛才在 u 可以不是新玩具那邊卡半天
01/14 20:25, 89F
→
01/14 20:25, 7年前 , 90F
意。
01/14 20:25, 90F
→
01/14 20:26, 7年前 , 91F
www
01/14 20:26, 91F
→
01/14 20:27, 7年前 , 92F
這種書錯誤都很多啊。有些是寫書的人半桶水，有些是
01/14 20:27, 92F
→
01/14 20:28, 7年前 , 93F
要人親自去補習，所以留一手。(前者還是比較多……)
01/14 20:28, 93F
→
01/14 20:31, 7年前 , 94F
意思是說x跟u同向而且vtx != 0會有vtu = 0的可能？
01/14 20:31, 94F
→
01/14 20:32, 7年前 , 95F
應該說共線
01/14 20:32, 95F
推
01/14 20:33, 7年前 , 96F
不是 是雖然「 x是特徵向量且v^t x != 0」的確可推
01/14 20:33, 96F
→
01/14 20:33, 7年前 , 97F
出「此時 u 平行 x 也是特徵向量」
01/14 20:33, 97F
→
01/14 20:33, 7年前 , 98F
但前提可以是空集合
01/14 20:33, 98F
→
01/14 20:34, 7年前 , 99F
嗯，我剛剛也想到了
01/14 20:34, 99F
→
01/14 20:35, 7年前 , 100F
直接代 u 雖然會知道 u 是特徵向量 但這樣就沒有推
01/14 20:35, 100F
→
01/14 20:35, 7年前 , 101F
出 v^t u != 0
01/14 20:35, 101F
→
01/14 20:36, 7年前 , 102F
這題沒問到特徵向量空間維度之類的東西 否則就錯了
01/14 20:36, 102F
推
01/14 20:43, 7年前 , 103F
原來作者是交大老師，那……單純寫錯吧。
01/14 20:43, 103F
→
01/14 20:44, 7年前 , 104F
我是覺得他想表達的親切一點 但證明就失真了
01/14 20:44, 104F
推
01/14 21:00, 7年前 , 105F
好像就是線代啟示錄的作者 雖然我只找到ccjou
01/14 21:00, 105F
→
01/14 21:17, 7年前 , 106F
這份資料是我從線代啟示錄上面下載的
01/14 21:17, 106F
→
01/14 21:18, 7年前 , 107F
這題有高手能提供其他解法嗎？謝謝
01/14 21:18, 107F
推
01/14 23:14, 7年前 , 108F
依照u有沒有垂直v分成2種情況討論,有垂直則可知這
01/14 23:14, 108F
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01/14 23:15, 7年前 , 109F
矩陣rank=n,沒垂直這矩陣可對角化,問題答案都可得到
01/14 23:15, 109F
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