Re: [線代] 關於特徵空間和特徵值
※ 引述《LivingLouder (We’re living louder)》之銘言:
: 若已知特徵空間的維度是n,則所對應的特徵值有n個重根。
: 請問以上的敘述是正確的嗎?
: 相關的例子:下圖的紅筆部分(來自周志成的線代解答)
: https://i.imgur.com/IdtSVTi.jpg
![](https://i.imgur.com/IdtSVTi.jpg)
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: 在我的理解裡,若是有相同n個的特徵值,則所對應的獨立的特徵向量小於等於n個。
提供一個直觀做法如下:
首先令 u != 0,等於的話 rank(I_n) = n,沒意思
令 A = I + uv^t,題目想要得知 rank(A)多少,相當於A的值域多大,即dim(R(A))
而依據維度定理,rank(A) = n - dim(null(A))
這樣就只要計算 Ax = 0 所形成的x集合的維度就好
(我idea是 Ax=0 比 R(A) 來的有可算性 才從這裡出發)
接著計算 Ax = x + uv^tx = x + <x,v>u ---(●)
而且題目給的hint又是u與v內積的關係
因此接下來我採取的單範正交基底才會故意拿u來做,這樣就有u與v的內積了:
取此組單範正交基底為 B := {u/│u│, e_2, ..., e_n}
然後把 x 由這個基底展開變成 a_1*u/│u│ + ... + a_n*e_n
代入(●)並計算Ax=0,整理好係數,會發現a_2 = ... = a_n = 0
接著把剩餘的u/│u│係數拿出來看,a_1 + a_1<u,v> = 0
最後由基底與係數的isomorphism得知
dim(null(A)) = dim( {(a_1,0,...,0)│a_1 + a_1<u,v> = 0} )
然後就明顯拉,<u,v>為-1時,a_1就毫無限制,所以維度為1
若<u,v>不為-1,a_1就只能是0
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以上寫樂樂長純粹解釋,反正用u/│u│去展單範正交基底就結束了
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