Re: [中學] 蠻簡單的問題，但要怎麼解釋

看板Math作者 (jammyjammy)時間7年前 (2016/09/09 00:28), 編輯推噓16(16推 0噓 67→)
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※ 引述《zx153w oWWWWWWWWWWWo)》之銘言： : 請問怎麼跟國中生解釋 : 0.9999循環會等於1 : 比較簡單明瞭的方式 : 讓他們可以容易接受 本人是數學家教 在教這個性質時,為了讓高中生能理解，我是用這樣的教學方式 （1）可以先試著以1/3=0.33333..... 兩邊都乘以三 得到 1=0.9999.....這種簡易的小說明做為開場白。 通常說到這裡，程度較好、對數學反應好的學生會瞪大眼睛，對我說： 「可是這兩個數不是應該差一點點才對嗎？為什麼會這樣？」 程度較差，或是較為內向的學生就直接點頭稱是了 這時候要誘發他們去思考，「你不覺得這兩個數差一點點嗎？問題出在哪裡？」 然後再進入下個階段。 （2）胃口做足了，開始進入正頭戲 「5跟2誰比較大？」「5」「沒錯，5-2=3，五比二還要多三，五比較大」 「2跟2誰比較大？」「一樣大」「嗯，2-2=0，兩個相差零，自然一樣大」 「所以，要判斷1跟0.999……誰比較大，兩個數減減看就知道了 沒錯,兩數相減就是你想的那個數字，0.00000......01 請問這裡頭的零有幾個？」 學生通常答得出來是無限多個 「很好，什麼是『無限多個』？無限就是指永遠不會停下來，到宇宙爆炸為 止仍然不會停下來,永恆持續的概念。」 然後拿出一張白紙，在白紙上狂寫0.00000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000..... 邊寫邊說「0是無限多個，你就必須永恆持續不斷不斷寫零，你有可能有寫 到尾巴那個1那個數的一天嗎？不可能。你就只能永恆地持續寫零而已…… 既然你就只能寫零，所以0.00000.....01其實就是零阿」 「1跟0.99999....相差零,所以兩個數是一樣大的。我寫零寫到手很痠....」 講到這裡學生通常就能被說服 再幫學生加深一下正印象： 1跟0.9999.....兩個數是完全一模一樣大的,不是很接近所以視為一樣大， 兩個數是完全一模一樣大的。 一個數值可以有兩種不同方式的表達，這個現象在國中以前沒有，在高中， 因為有無限的概念，所以有這種現象。 最後再拿出102數學指考乙的多選題,裡面有考到這個概念,讓學生練習 這樣學生絕對不會忘,而且很能接受。 在白紙上狂寫零這個方式,其實很恰好的把很抽象的無限給具象化。 以上，僅供參考。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.193.82.192 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1473352109.A.07F.html
推
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學生：機器寫就不會痠了阿(?
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乍看很直觀 其實還是講得模稜兩可
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「有點對 又有點好像不對」
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「0.0000...001非是0不可」這件事
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以你那套說法 也沒那麼能讓人好接受
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都是有點偷偷夾帶似是而非的東西在裡面, 模稜兩可
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這樣只會把數學搞到像在念玄學, 未必很好
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推
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直觀的解釋是不錯 不過既然學生都接受這些了
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推
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推樓上 與其照原po 講法 不如直接講更精確的"等號"
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就順便把極限教了吧 正式定義一次0.999...
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等號的嚴格定義 for all e, |a-b|<e iff a = b
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啊 我要推的是 a大
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接不接受這個 根據經驗 和數學程度沒關
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推
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...為什麼一定要糾結於此? 直接把它當成符號不好嗎?
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不接受的人 一般就只是突然認真思考無限是啥而已
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你不扯到極限觀念 這東西根本不能解釋
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當成符號就得要定義清楚啊
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去扯極限則又會變成另一個長篇大論 學生聽不下去
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那個與其說是等號定義 不如說是極限定義吧XD
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不會啊 就像c大那樣定義
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"未定義名詞"本來就是最好用的東西 說什麼就是什麼
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其實兩三行就寫完了
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跟國中生扯個根號或圓周率就夠麻煩了 一點都不好玩
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今天問題是 學生對1有個定義 對0.999...有個定義
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你突然跟他說 這兩個其實一樣 總得要有理由
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真有興趣問下去的 再慢慢跟他們說就好
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家教是一種服務業 而且服務對象是家長
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他們看到學生考幾分才是真的 其他都是廢話
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推
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但教育，更是良心事業唷 呵呵呵
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對有求知慾的學生而言，這種回答方式是侮辱他們。
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我會跟學生說"循環小數事一種表示數字的方法"
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"而寫出0.999... 表示出來的數字剛好等於1"
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詳細的証明要說不說就看學生了 大多數人並不想聽
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就像√2或√3寫成小數不完 √4就剛好等於2一樣
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有學生想聽 我當然也可以把轉分數的公式也証一遍
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不過 上課的時間也就這麼多 現實還是需要妥協的
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我覺得討論可以停了，原po問了問題後，一次都沒
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回應過。
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推
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因材施教。同時也要考慮學生的抽象能力發展到什麼
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階段。畢竟在建構實數之前我們就教他們圓周率
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要說多嚴謹都是假的
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推
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只能說學術理論還是得跟教育現場做些妥協吧
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起年前的建構式數學就吵過類似的議題 現在也還沒完
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真的. 厲害的老師就是要能巧妙的找到平衡感的
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但巧婦難為無米之炊 有時候學校授課時間就那樣有限
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推
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有的人就是王道學派吧，只要不夠嚴謹的教
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好像就是誤人子弟，禍國殃民一樣
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推
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國高中真的不太需要管嚴謹性 不然高中的虛數就要從
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field extension 開始了
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這當然並不是理由 但我們只是要直觀用不是嚴謹構造
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不是嚴謹度問題，是正確性問題。
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當然你可以講完以後補一句，這些其實不是真正原因
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只是讓大家能接受的直觀講法
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不知道有沒有人遇過 以上教法都失效的學生
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那個時候 沒有把極限定義搬出來用 他會盧到底的
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即使用了極限 還得跟他承認 實數沒有無限小這種東西
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單就這個問題可以說跟嚴謹度無關。然而學生會有
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他是那種 覺得0.333...最後一位應該有個4的傢伙
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這樣的疑問是因為有類似圓周率這種無窮位小數
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這種數字教材都搬出來了，但卻沒探討實數是什麼
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才會說整個教法是不嚴謹的
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是說 複數應該可以用複數平面定義
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視為二維實數向量 定義加和乘 連i都不用管
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一開始就上field extension 一堆理工科都會哭吧
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推
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推Desperato
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推
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本來要問到底 "無限小數" 這是什麼數通常講到最後就
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只能轉向從頭構造出來然後說用的都是用裡面的東西吧
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直接定義成向量當然沒什麼問題 只是感覺就比構造實
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數那些更純粹只像剛好定義出來的東西而比較沒有直覺
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直接 "解方程" 來的直覺講清楚就變 field extension
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就像教學生虛數課本不可能不出現 x^2+1 = 0
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推
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如果是要引導讓學生想到解釋都沒辦法感覺沒什麼問題
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不過教學真的不需要到那樣只要先假設運算都已經定好
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了然後直覺算一算就好了..
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說來循環小數及其運算應該也是可以仔細定義的吧?
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推
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可以定義呀 但不知道多少學生接受得了
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是說說了這麼久好像還是沒人想解決圓周率(或說更
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基本的無窮小數)要怎麼教給學生的問題
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最直覺還是無窮級數+小數形式分解吧
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推
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這種看法就是要直接教他們無窮、極限這些概念
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也許有朝一日這些概念真的能夠變成常識吧
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推
09/19 11:28, , 82F
推
09/19 11:28, 82F
推
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經驗分享推
09/22 17:02, 83F
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