Re: [微積] dx不是實數?

看板Math作者ERT312 (312)時間8年前 (2016/04/04 01:09)推噓2(2推 0噓 33→)

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dx,dy在Leibniz時被認為是無窮小的數,當時飽受批評後來在Cauchy及Weierstrass等人的努力之下發明了一種全新的概念 limit 可以繞過無窮小這種當時無法自圓其說的概念安全的給出導數值我會建議初學者直接學這種εδ,ε-N 的極限而不要糾纏在無窮小之上有人說極限的觀念對初學者太難我覺得是對εδ語言的陌生這點可以透過大量練習克服熟能生巧板上也有講解的很清楚的文章可看 #16yy-oIS (Math) 有了導數之後,就可以定義dx,dy http://imgur.com/FFCywV3

這是Thomas的微積分有給定義還有例題可以算dy(給定x及dx之下) 這種看法 dx,dy都是variables 還有一種看法是把 dy 定義成 Δy 的線性主要部分若 y=f(x) Δy=f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx + ο(Δx) 則定義 dy=f'(x)Δx (可參考維基https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_of_a_function) 因 I(x)=x, I'(x)=1 hence dx=I'(x)Δx=Δx so dy=f'(x)dx 若x不是獨立自變數,x=g(t),y=f(g(t)),t是獨立變數則根據定義 dy = f'(g(t))g'(t)Δt (chain rule) = f'(x)dx 所以不管x是不是獨立變數 dy=f'(x)dx 形式不變這在多變量函數的全微分也成立 (之前舉的例子#1M0XZ9Ym x,y並非都是獨立變數) 二階微分 y=f(x) dy=f'(x)dx d(dy) = f''(x)dxdx + f'(x)d(dx) = f''(x) dx^2 + f'(x) d^2 x 若x是獨立變數,則d(dx)=0 (因 dx=Δx,與x無關,Δx視為定植,微分為0) d^2 y 此時 f''(x) = ----- dx^2 d(dy/dx) 這也是為什麼 -------- 會寫成上式 (不過這只有當x是獨立變數時才成立) dx dx,dy,這種符號很好用通常導數的運算公式也有對應的微分公式如 d(u+v)=du+dv d(uv)=udv+vdu ...等等在積分上跟變數代換部分積分等規則又配合得恰到好處一種非常好用的東西如果不嚴謹數學家會想出其他的辦法自圓其說而不是放棄使用它 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 218.164.74.194 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1459703396.A.6EA.html ※ 編輯: ERT312 (218.164.74.194), 04/04/2016 01:12:08

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