[微積] dx不是實數?

看板Math作者 (Yeh)時間8年前 (2016/04/02 10:03), 8年前編輯推噓12(12推 0噓 53→)
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手機排版請見諒 --------------------------- 最近在學習微積分時讀了一本介紹微積分史的書，其中在講到dx的時候給了dx的雙重性質 (1)某些時候，dx不等於0，因為它只是"很靠近"0 (2)某些時候，dx等於0，因為它無窮小 最後留下了問題 試證:dx不是實數 在這裡我思考了很久，感覺dx很實在啊！甚至知道它就是非常趨近於0的一個數 那為什麼不是實數呢？ 另外，我知道證明一個數是不是有理數通常可以用 p/q pq屬於Z 那證明是不是實數要如何作呢？ ps. 原po目前高3，現在自學大一微積分，有哪裡觀念不對還請各位指導，謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.218.37.82 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1459562638.A.0B8.html ※ 編輯: sk90040 (49.218.37.82), 04/02/2016 10:04:23
推
04/02 11:09, , 1F
其實單獨討論dx會有很大的爭議，dy/dx才真的有意義
04/02 11:09, 1F
推
04/02 11:29, , 2F
比如你的 (1) 和 (2)，就不會有任意實數符合
04/02 11:29, 2F
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04/02 11:29, , 3F
等於 0 又不等於 0
04/02 11:29, 3F
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04/02 11:30, , 4F
因此 dx 的「符號」運算 無法套用 實數的符號運算
04/02 11:30, 4F
推
04/02 11:38, , 5F
若 a 不是有理數，要說它是實數就要看你建構實數的
04/02 11:38, 5F
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04/02 11:39, , 6F
方式，概括而言可以說用 實數完備性
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04/02 11:52, , 7F
請回去翻你的微積分教科書，我相信裡面根本沒有定義
04/02 11:52, 7F
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04/02 11:53, , 8F
過dx這個東西
04/02 11:53, 8F
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04/02 11:54, , 9F
只有∫dx 和 d/dx 這樣
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04/02 11:56, , 10F
當然你是在微積分「歷史」的部分看到 dx...正是因為
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04/02 11:58, , 11F
dx那一套不能自圓其說，所以後來的人就把它給丟了
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04/02 12:00, , 12F
不過後來倒是又有好幾個相關的概念借了 dx 的符號
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04/02 12:00, , 13F
來用，像是 differential form 或 measure
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那些和你的「需要它的時候它才不是零」的原始 dx 都
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04/02 12:02, , 15F
不一樣就是了
04/02 12:02, 15F
推
04/02 14:49, , 16F
其實有定義 dx 的微積分(初微)的書還滿多的
04/02 14:49, 16F
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04/02 14:50, , 17F
不過我建議原po不要從數學史類的書學微積分
04/02 14:50, 17F
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04/02 14:51, , 18F
應該從正統教科書開始看
04/02 14:51, 18F
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04/02 15:18, , 19F
謝謝樓上各位，我是有讀好高三下的基礎微積分才唸
04/02 15:18, 19F
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04/02 15:18, , 20F
初微的(教科書)
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04/02 15:18, , 21F
最近是時間比較多才想看這方面的歷史
04/02 15:18, 21F
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04/02 15:20, , 22F
不過其實市面上很多書對dx都只說是Leibniz Symbol
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04/02 15:20, , 23F
然後dx是無窮小的意思
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04/02 15:20, , 24F
然後就沒了
04/02 15:20, 24F
推
04/02 15:37, , 25F
因為它剛發明的時候不清不楚, 大家說他不是零除來除
04/02 15:37, 25F
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04/02 15:38, , 26F
到底是什麼. 後來 Cauchy, Weierstrass 等人慢慢發
04/02 15:38, 26F
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04/02 15:39, , 27F
展出 ε-δ 作法, 現在標準微積分已經捨棄無窮小了
04/02 15:39, 27F
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喔還有 Bolzano..
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04/02 15:40, , 29F
再到後來有人發明出非標準微積分是另一回事了
04/02 15:40, 29F
推
04/02 16:57, , 30F
像Stewart就有寫到 dx.dy單獨運算只是為了方便記憶
04/02 16:57, 30F
推
04/02 20:14, , 31F
題外話 不推台大微積分朱樺的開放式課程
04/02 20:14, 31F
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04/02 20:14, , 32F
他符號用得很不嚴謹, 我覺得對初學者是毒藥
04/02 20:14, 32F
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04/02 20:15, , 33F
對高手而言, 也不需要看那個就是了
04/02 20:15, 33F
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04/02 20:15, , 34F
建議找正統大學微積分書看就是了
04/02 20:15, 34F
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04/02 20:16, , 35F
但我也不推James Stewart的
04/02 20:16, 35F
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04/02 20:17, , 36F
沒看過大學微積分原文書 也千萬不要看科普書
04/02 20:17, 36F
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04/02 20:17, , 37F
會迷失掉 猶如走火入魔. 還不如找個正統微積分書看
04/02 20:17, 37F
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04/03 00:17, , 38F
樓上這麼不推Stewart,那請問有推薦的微積分書嗎?
04/03 00:17, 38F
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04/03 00:23, , 39F
Stewart我只看到dy=f'(x)dx,有單獨運算嗎?
04/03 00:23, 39F
推
04/03 00:24, , 40F
蠻好奇樓樓上不推Stewart的理由？
04/03 00:24, 40F
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04/03 00:25, , 41F
我自己是覺得覺得蠻不錯的
04/03 00:25, 41F
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04/03 00:26, , 42F
符號是死的,人是活的,找出一套自己能理解的方式,
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04/03 00:28, , 43F
然後能正確地使用符號就好,不用硬爭論說,
04/03 00:28, 43F
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04/03 00:28, , 44F
自己的一套一定對,別人的一定錯云云.
04/03 00:28, 44F
推
04/03 00:39, , 45F
也可以看非標準分析哈哈
04/03 00:39, 45F
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04/03 00:39, , 46F
還有阿,請問alfadick,
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04/03 00:40, , 47F
為什麼separable ODE可以整理成dy跟dx放等號兩邊?
04/03 00:40, 47F
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04/03 00:53, , 48F
還在等你的答案阿...(握紅筆閱卷準備)
04/03 00:53, 48F
推
04/03 02:06, , 49F
蔡教授的 微積分的xxxx? 這本我讀過 寫得不怎麼樣..
04/03 02:06, 49F
推
04/03 02:15, , 50F
04/03 02:15, 50F
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04/03 03:54, , 51F
大概就是...dx比1小、比0.0038小、比0.5小、比你認
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04/03 03:55, , 52F
識的隨便一個正數都還要小，所以不是正數。
04/03 03:55, 52F
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04/03 03:56, , 53F
同樣地，dx也比你認識的任何一個負數還大，所以也
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04/03 03:57, , 54F
不是負數。實數有三一律要遵守，所dx就只能是0囉？
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但是dx/dx=1，0/0卻不能計算，所以dx也不是0。
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04/03 04:00, , 56F
那dx到底是不是實數呢？
04/03 04:00, 56F
推
04/03 04:29, , 57F
dx=0+
04/03 04:29, 57F
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04/03 07:58, , 58F
在趨近於零的時候 能不能當零要看相對於什麼
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04/03 08:00, , 59F
像dy/dx正是兩者都很微小 所以之間的關係才值得討論
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我是覺得這比較像高等微積分，dx不是實數是因為
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04/03 21:13, , 61F
不存在任意r屬於實數，且r=dx
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04/03 21:13, , 62F
就像無窮大也不屬於實數
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04/04 00:51, , 63F
其實重點是這樣：上面V大已經把 dx 不可能是實數的
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04/04 00:51, , 64F
理由說明了。所以那些把 dx 加減乘除，或者 **代進
04/04 00:51, 64F
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04/04 00:52, , 65F
實變數函數** 這些動作全部都違法，或者至少未定義
04/04 00:52, 65F
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