Re: [中學] 數學歸納法一題
※ 引述《iamwjy (醉翁之意)》之銘言：
: 證明：對所有正整數n，皆有
: √(1+√[2+√(3...+√n)]) < 2。
: 上面的 √( ) 或 √[ ] 就是說括號內的東西都在根號裡面。
: 請高手指點！謝謝！
這題又再勾起我的回憶...
當年是先用計算機試算當n=20,30,40,50
發現此數趨近於1.757932757
而嘗試證明 √(1+√[2+√(3...+√n)]) ≦ 2
我想了很久,想到了一個方法:
設一函數 T(n) (T取名自Two ^_^;)
令 2= √(1+√[2+√(3...+√T(n) )])
其中 T(1)=4, T(2)=9, T(3)=49, ...,
T(n+1) = ( T(n) - n )^2
只要能證明 n ≦ T(n) 則
√(1+√[2+√(3...+√ n )]) ≦ √(1+√[2+√(3...+√T(n) )]) = 2
以下大略說明一下:
引理:當 n ≧ 3 , n^2 ≧ 2n+1 (證明略)
事實上, 即將證明 T(n) ≧ 2n+1
1.T(1)=4 ≧ 2*1+1 = 3
T(2)=9 ≧ 2*2+1 = 5
2.設n=k (k ≧ 3) 時 T(k) ≧ 2k+1
則當n=k+1時
T(k+1) = ( T(k) - k ) ^2 (原函數定義)
≧ 2 ( T(k) - k ) + 1 (引理)
≧ 2 ( 2k+1 - k ) + 1
= 2 ( k+1 ) + 1
依數學歸納法原理, 原式得證。
後記：
在 九章出版社 "構造法解題" 一書中，
第144頁 習題12 就是這一題，
而在第152頁解答的方法與上述大同小異
題外話：
若將原式之加號改成乘號，即：
√(1*√[2*√(3...*√n)])
是收斂還是發散？
此題為收斂，但思考方向則大不相同！
原式變型為：
1^(1/2) * 2^(1/4) * 3^(1/8) *...*n^(1/(2^n))
以2為底取對數，原式再變型為：
1/2 * log 1 + 1/4 * log 2 + 1/8 * log 3 +
... + 1/(2^n) * log n
而當n為自然數時 log n ≦ n , 原式 ≦
1/2 + 2/4 + 3/8 + ... + n/(2^n)
設上式為S，則 1/2 S =
1/4 + 2/8 - ... + n/(2^(n+1))
上式減下式，再*2得到：
S = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^(n-1))
- n/(2^n)
此式極限為2, 回推得到
√(1*√[2*√(3...*√n)]) ≦ 4
事實上此式用記算機算到8的結果是
1.64686445, 算到10是1.65767036
比原先的 √(1+√[2+√(3...+√n)]) 還小...
(以上許多細節不太嚴謹,只是個思考方向)
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