Re: [中學] 數學歸納法一題
※ 引述《amy29585028 (Amy是男是女都不重要)》之銘言：
: 試證明對所有的正整數n：
: 1^2013+2^2013+...+n^2013
: 皆可以被1+2+...+n整除
: 小弟我推不出結論，不知道是不是有什麼技巧？懇請高手指點，謝謝。
2013可以替換成任何奇數
這裡提供一個不用討論奇偶性但也不是歸納法的方法
關鍵在於：對於奇數 n， a^n + b^n 有因式 a + b
我們把原式寫作 S， S = 1^2013 + 2^2013 + ... + (n-1)^2013 + n^2013
倒過來寫，有 S = n^2013 + (n-1)^2013 + ... + 2^2013 + 1^2013
兩式相加，可得 2S = (n+1) * [ ...... ]
同理 S = 1^2013 + 2^2013 + ... + (n-1)^2013 + n^2013
S = (n-1)^2013 + (n-2)^2013 + ... + 1^2013 + n^2013
兩式相加 2S = n * [ ...... ]
所以 2S 是 n 的倍數也是 (n+1) 的倍數
n 與 (n+1) 互質 → 2S 是 n(n+1) 的倍數
故 S 是 n(n+1)/2 = 1+2+...+n 的倍數，原命題得證
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※ 編輯: mixxim 來自: 140.112.251.61 (04/03 15:02)
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