Re: [中學] 遞迴數列證明

看板Math作者Golven (五代裕作)時間14年前 (2011/03/30 11:02)推噓4(4推 0噓 1→)

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※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言： : 標題: [中學] 遞迴數列證明 : 時間: Mon Mar 28 14:58:29 2011 : : ___ __ __ : 若n屬於正整數，利用遞迴數列關係求証√1+√2+√3+...+√n < 2 : : : -- : ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) : ◆ From: 211.79.59.62 : 推 springman :根號 1 + 根號 2 就超過 2 了，題目有錯吧？！ 03/28 15:07 : 推 agga :根號2是在根號1裡面的 03/28 15:09 : → Intercome :恩不好意思編輯關係根號是一層包一層的 03/28 15:14 : 推 springman :哦、原來如此，謝謝說明 03/28 15:19 這個"級數"想當年我也想了很久,是在學校教√(1+√(1+√(1+...)))之後沒多久. 當時有用計算機算過,其值大約收斂至1.7579327566... 當時想證明 √(1+√(2+√(3+...+√(n)))) < 2 想了將近兩個星期才想出要用什麼方式證明,不到5分鐘就搞定! 我的作法是:把 2 化成左式的格式: 2 = √(1+√(2+√(3+...+√T_n))) 然後證明 T_n > n T_1=4, T_2=9, T_3=49, ... T_(n+1) = (T_n - n)^2 用數學歸納法 T_1=4 > 1 又 T_(k+1) = (T_k -k)^2 ＝ (T_k)^2 -2 k T_k + k^2 ＝ T_k ( T_k - 2k ) + k^2 卡住了? 沒關係, 改證 T_n ≧ 2n + 2 T_1=4 ≧ 2 * 1 + 2 又 T_(k+1) = (T_k -k)^2 ＝ (T_k)^2 -2 k T_k + k^2 ＝ T_k ( T_k - 2k ) + k^2 ≧ T_k ( 2 ) + 2 用數學歸納法 T_n ≧ 2n+2 > n 另:其實當年我所想的"怪題"不只這個,此題還有"推廣"... 例如: 把加號改為乘號: √(1*√(2*√(3*...*√(n)))) 是否收斂? 若是, 如何證明? 甚至於:把1, 2, 3...改成其它數列, 譬如說 2^n, n^2 或 Pn(第n個質數) 即: √(2+√(4+√(8+...+√(2^n)))) √(2*√(4*√(8*...*√(2^n)))) √(1+√(4+√(9+...+√(n^2)))) √(1*√(4*√(9*...*√(n^2)))) 及: √(2+√(3+√(5+√(7+...+√(Pn))))) √(2*√(3*√(5*√(7*...*√(Pn))))) 其實, 4 8 2^n √(1*√(2*√(3*...*√(n)))) = √1 * √2 * √3 *... * √(n))) log 1 log 2 log 3 log n 要取對數log(以2為底) = ─── + ─── + ─── + ... + ─── 2^1 2^2 2^3 2^n 1 2 3 n ≦ ── + ── + ── + ... + ── 2^1 2^2 2^3 2^n (後面這個同時也是√(2*√(4*√(8*...*√(2^n))))取對數log(以2為底)的結果) 後面這個級數有公式(我忘了要如何導出公式,也找不到該公式>_<;) 但是當n→∞時上式是收斂的,即原式≦一個常數而2^n, n^2的加號,乘號的證法大約相當於上面兩個證法(加號、乘號方法不同) 但它們都是收斂的,且收斂的數並不大,例如: √(1^2+√(2^2+√(3^2+√...+√(N^2+√(...))))) 小於2 !! (約為 1.9426554228...) 最好玩的是 Pn, 它不難證但有技巧,須要另一個定理: n與2n之間必有一質數. 可推論 Pn ≦ 2^n 既然2^n(+,*)是收斂的, 那當然Pn也是收斂的... 再推廣: (一)：為了方便起見,讓我們定義: Ｇk(n)=√(1^k+√(2^k+√(3^k+√...+√(N^k)))) 及Ｇk = lim(n→∞) Ｇk(n) 用電腦跑了以下的數據: Ｇ0=1.6180339888... Ｇ1=1.7579327566... Ｇ2=1.9426554228... Ｇ3(1000)=2.1767885971... Ｇ4(1000)=2.4674045317... Ｇ5(1000)=2.8234815128... Ｇ6(1000)=3.2559047055... Ｇ7(1000)=3.7777293308... Ｇ8(1000)=4.4045817067... 其中Ｇ3～Ｇ8在 n = 25 時就已收斂至上列各數值了... 想問各位高手的是,是否對任意的正整數(含0) k , Ｇk都是存在(收斂)的嗎?? 若將 k 擴域為含0正實數,結果呢?? (二)： k 以下的 √(n) 表示對 n 開 k 次方根,即 n^(1/k) ... 定義: k k k k k Ｈk(n)=√(1^k+√(2^k+√(3^k+√...+√(N^k)))) 及Ｈk = lim(n→∞) Ｈk(n) 用電腦跑了以下的數據: Ｈ2=Ｇ1=1.94265542276398739... Ｈ3(1000)=1.47876756975755750... Ｈ4(1000)=1.32570677390967455... Ｈ5(1000)=1.24872966410654559... Ｈ6(1000)=1.20195838018005489... Ｈ7(1000)=1.17029992953725631... Ｈ8(1000)=1.14734196843445051... Ｈ9(1000)=1.12988529975635458... ... Ｈ16(1000)=1.0710756108... 其中Ｈ3～Ｈ9在 n 不到 25 時就已收斂至上列各數值了... 想問各位高手的是,是否對任意大於 1 的 k , Ｈk都是存在(收斂)的嗎?? 若將 k 擴域為大於 1 的正實數, 結果又會是如何呢?? P.S.:以下是電腦RUN出來的結果: H1.1(1000) = 12.53410585557828590 H1.2(1000) = 6.13604718511129448 H1.3(1000) = 4.28183589687729080 H1.4(1000) = 3.41158081093683555 H1.5(1000) = 2.90808856305886036 H1.6(1000) = 2.58021018164883998 H1.7(1000) = 2.34977778857460427 H1.8(1000) = 2.17897221960723880 H1.9(1000) = 2.04728926381158334 H2.0(1000) = 1.94265542276398739 H2.1(1000) = 1.85750102827822843 H2.2(1000) = 1.78684000215898997 H2.3(1000) = 1.72725445822784638 H2.4(1000) = 1.67632314342543058 H2.5(1000) = 1.63228282477950049 H2.6(1000) = 1.59381893361093989 H2.7(1000) = 1.55993135720569942 H2.8(1000) = 1.52984568895849260 H2.9(1000) = 1.50295293453370525 H3.0(1000) = 1.47876756975755750 H3.1(1000) = 1.45689774804368154 H3.2(1000) = 1.43702374023264418 H3.3(1000) = 1.41888206945652522 H3.4(1000) = 1.40225365972820962 H3.5(1000) = 1.38695486126584230 H3.6(1000) = 1.37283056934463784 H3.7(1000) = 1.35974888804698328 H3.8(1000) = 1.34759694867342899 H3.9(1000) = 1.33627760131768917 H4.0(1000) = 1.32570677390967455 H4.1(1000) = 1.31581134661751609 H4.2(1000) = 1.30652742787750617 H4.3(1000) = 1.29779894613920717 H4.4(1000) = 1.28957649180391198 H4.5(1000) = 1.28181635893782894 H4.6(1000) = 1.27447974763745815 H4.7(1000) = 1.26753209645065515 H4.8(1000) = 1.26094252074741938 H4.9(1000) = 1.25468333791538415 H5.0(1000) = 1.24872966410654559 H5.1(1000) = 1.24305907026146037 H5.2(1000) = 1.23765128748928995 H5.3(1000) = 1.23248795373837009 H5.4(1000) = 1.22755239516595923 H5.5(1000) = 1.22282943679304497 H5.6(1000) = 1.21830523797554104 H5.7(1000) = 1.21396714898655412 H5.8(1000) = 1.20980358562383778 H5.9(1000) = 1.20580391926165534 H6.0(1000) = 1.20195838018005489 H6.1(1000) = 1.19825797234503848 H6.2(1000) = 1.19469439809446364 H6.3(1000) = 1.19125999141796296 H6.4(1000) = 1.18794765871362517 H6.5(1000) = 1.18475082606676499 H6.6(1000) = 1.18166339223254146 H6.7(1000) = 1.17867968661905676 H6.8(1000) = 1.17579443166461946 H6.9(1000) = 1.17300270908510336 H7.0(1000) = 1.17029992953725631 H7.1(1000) = 1.16768180530342495 H7.2(1000) = 1.16514432565413363 H7.3(1000) = 1.16268373458865424 H7.4(1000) = 1.16029651069126442 H7.5(1000) = 1.15797934887326041 H7.6(1000) = 1.15572914379875040 H7.7(1000) = 1.15354297481646070 H7.8(1000) = 1.15141809224079537 H7.9(1000) = 1.14935190484365629 H8.0(1000) = 1.14734196843445051 H8.1(1000) = 1.14538597541961393 H8.2(1000) = 1.14348174524513911 H8.3(1000) = 1.14162721563625926 H8.4(1000) = 1.13982043455779887 H8.5(1000) = 1.13805955282693838 H8.6(1000) = 1.13634281731739616 H8.7(1000) = 1.13466856470043682 H8.8(1000) = 1.13303521567377778 H8.9(1000) = 1.13144126963447979 H9.0(1000) = 1.12988529975635458 H9.1(1000) = 1.12836594843637171 H9.2(1000) = 1.12688192307805899 H9.3(1000) = 1.12543199218302056 H9.4(1000) = 1.12401498172448562 H9.5(1000) = 1.12262977177929439 H9.6(1000) = 1.12127529339695505 H9.7(1000) = 1.11995052568640214 H9.8(1000) = 1.11865449310287568 H9.9(1000) = 1.11738626291894483 文末贅語: 這些都是當年曾經玩過的東東(當然不只這些), 我的電腦內當年PO文的有記錄的文件最早的日期居然是1999年11月12號!!(好遙遠的日子) 真是歲月不待人、歲月催人老...>_<; -- 話說有一天問說： "你知不知道鍾欣愉是誰？" "當然知道啊！粉紅豬嘛，胖胖的..." "那個是鍾欣凌 !!" "要不然就是那個威寶妹 ..." "那個是鍾欣怡 !!" "難不成是那個好傻好天真 ..." "那個是鍾欣桐 !!" "那鍾欣愉她到底是誰？" "她是莎莎公主 !!" "厚，她們的老木怎麼生這麼多藝人哪？" ╧══╧ ︵＼(／‵Д′＼)／︵╧══╧ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 112.105.241.206

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推

recorriendo

03/30 15:38, , 2^F

03/30 15:38, 2^F

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kusoayan

03/30 18:47, , 3^F