Re: [中學] 三角函數
※ 引述《BePi (逼屁)》之銘言：
: 1/sin15sin30 + 1/sin30sin45 + ... + 1/sin150sin165=?
(本篇角度全以度為單位, °記號省略)
sin15 = (√6 - √2)/4, sin75 = (√6 + √2)/4 這兩個特殊角用半角公式就能求
於是所有十項都可以寫成根式, 硬上化簡即可
(而且前五項跟後五項是一樣的, 只要化簡五項就夠了)
如果還是要找「巧解」的話:
cot x - cot y
= cos x / sin x - cos y / sin y
= (sin y cos x - cos y sin x) / (sin x sin y)
= sin(y-x) / (sin x sin y)
故原式 (令上公式 y = x + 15度)
= (1/sin15)(sin15/(sin15sin30) + sin15/(sin30sin45) + ...)
= (1/sin15)(cot15 - cot30 + cot30 - cot45 + ... + cot150 - cot165)
= (cot15 - cot165)/sin15
= sin150/(sin15sin165)/sin15 (令上公式 x=15度, y=165度)
= sin30/(sin15)^3 再代 sin15 sin30 進去化簡即可
可以看得出這「巧解」基本上沒比硬上的解法省事多少, 所以就硬上吧
--
LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.
--
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