Re: [微積] 微積分學習瓶頸Orz
※ 引述《Philethan (PE)》之銘言：
: 各位神人好.......
: 我目前正在準備考台大的轉學考，雖然寫 James Stewart 的習題時都覺得沒什麼大
: 問題。但是，當我寫台大轉學考微B考古題時，我就覺得想得很慢，而且計算又容易
: 粗心.....讓我非常頭痛。
: 目前正在寫 Stewart 後面的 problem plus，我實在是很佩服想出這些題目的教授
: 們，每個題目都好花我的時間。我很想知道，我到底該怎樣突破現在的困境？
: 例一：
: 在 Chapter 11: Infinite Sequences and Series，Problem Plus 第25題
: u = 1 + x^3/3! + x^6/6! + x^9/9!
: v = x + x^4/4! + x^7/7! + x^10/10!
: w = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + x^11/11!
: 證明 u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw = 1
: 我怎麼想都想不出來....超級痛苦，已經想2小時了。
: 我觀察到
: u'=w, w'=v, v'=u u+v+w = exp(x)
: 那又怎樣呢！有想過 (u+v+w)^3 = ????，但總覺得這好像很複雜，應該不太可能。
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給點不一樣的想法
┌ 0 1 0 ┐
考慮 A = x│ 0 0 1 │
└ 1 0 0 ┘
A ┌ u v w ┐
可知 e = │ w u v │
└ v w u ┘
A tr(A) 0
所以原式 = det(e ) = e = e = 1
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以下所提並非是我一開始的想法
不過這個方法會讓整個解法看起來很自然
┌ u v w ┐
令 Y = │ w u v │
└ v w u ┘
┌ u' v' w' ┐ ┌ w u v ┐ ┌ 0 1 0 ┐
則 Y' = │ w' u' v' │ = │ v w u │ = MY , 其中 M = │ 0 0 1 │
└ v' w' u' ┘ └ u v w ┘ └ 1 0 0 ┘
Mx A
所以可建立出 Y = e = e
另外也順便合理化一下其他版大的作法
假設 Y 的三個 eigenvalue 分別是 λ_1, λ_2, λ_3
對應 M 的三個 eigenvalue 分別是 λ_m1, λ_m2, λ_m3
(λ_m1 + λ_m2 + λ_m3)x
則 det(Y) = λ_1*λ_2*λ_3 = e
2 2
可以計算出 λ_i in { u+v+w, u+vr+wr , u+vr + wr }
λ_mi in { 1, r, r^2 }
其中 r 滿足 r^3 = 1
細節就不多提了
※ 編輯: doom8199 (36.236.155.184), 06/20/2015 19:10:54
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