Re: [微積] 微積分學習瓶頸Orz
※ 引述《Philethan (PE)》之銘言:
: 各位神人好.......
: 我目前正在準備考台大的轉學考,雖然寫 James Stewart 的習題時都覺得沒什麼大
: 問題。但是,當我寫台大轉學考微B考古題時,我就覺得想得很慢,而且計算又容易
: 粗心.....讓我非常頭痛。
: 目前正在寫 Stewart 後面的 problem plus,我實在是很佩服想出這些題目的教授
: 們,每個題目都好花我的時間。我很想知道,我到底該怎樣突破現在的困境?
: 例一:
: 在 Chapter 11: Infinite Sequences and Series,Problem Plus 第25題
: u = 1 + x^3/3! + x^6/6! + x^9/9!
: v = x + x^4/4! + x^7/7! + x^10/10!
: w = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + x^11/11!
: 證明 u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw = 1
: 我怎麼想都想不出來....超級痛苦,已經想2小時了。
: 我觀察到
: u'=w, w'=v, v'=u u+v+w = exp(x)
: 那又怎樣呢!有想過 (u+v+w)^3 = ????,但總覺得這好像很複雜,應該不太可能。
其實是可以硬幹的,不須求證u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw是常數,不過複雜很多...
x
觀察 v=w', u=v'=w'', u+v+w=e
x
=> w''+w'+w=e and w(0) = 0, w'(0)=v(0)=0
x x x
令特解為w = ce => 3ce = e => c =1/3
p
2
對應的homogeneous的characteristic equation為 r + r + 1 = 0
=> r = (-1±√-3)/2
-x/2
=> homogeneous solution 的形式為 e [c1 cos(√3x/2) + c2 sin(√3x/2)]
-x/2 x
=> 原方程式的解為 e [c1 cos(√3x/2) + c2 sin(√3x/2)]+ e /3
-x/2 x
令 w = e [c1 cos(√3x/2) + c2 sin(√3x/2)] + e /3
' -x/2 x
=> w = e [(√3c2-c1)cos(√3x/2)-(√3c1+c2)sin(√3x/2)]/2 + e /3
由initial condition:
0 = w(0) = c1+1/3
'
0 = w(0) = (√3c2-c1)/2+1/3
=> c1 = -1/3, c2 = -1/√3
則u, v, w都可求出:
-x/2 x
u = w'' = 2e cos(√3x/2)/3 + e /3
-x/2 x
v = w' = e [-cos(√3x/2)/3 + sin(√3x/2)/√3] + e /3
-x/2 x
w = -e [cos(√3x/2)/3 + sin(√3x/2)/√3] + e / 3
3 3 3
u + v + w - 3uvw若直接代入會非常難算(雖然你可以用排列組合的方法求出係數)
3 3 3 2 2 2
但其實 u + v + w -3uvw = (u+v+w)[(u-v) + (v-w) + (w-u)] / 2
-x/2
u-v = e [cos (√3x/2)-sin(√3x/2)/√3]
-x/2
v-w = 2e sin(√3x/2) / √3
-x/2
w-u = -e [cos(√3x/2)+sin(√3x/2)/√3]
2 2 2
=> (u-v) + (v-w) + (w-u)
-x 2 2
= e [cos (√3x/2)-2sin(√3x/2)cos(√3x/2)+sin (√3x/2)] +
-x 2 -x 2 2
4e sin (√3x/2)/3 + e [cos (√3x/2)+2sin(√3x/2)cos(√3x/2)+sin (√3x/2)]
-x 2 2
= e (2cos (√3x/2) + 2sin (√3x/2))
-x
= 2e
3 3 3 x -x
所以 u + v + w = e *2e /2 = 1
雖然可行,不過很複雜...
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※ 編輯: yueayase (111.254.104.35), 06/19/2015 23:50:37
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